2. 考研
  3. f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)＞0，则F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt的单调性为[ ]．

f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)＞0，则F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt的单调性为[ ]．

admin2016-03-01  50
问题 f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)＞0，则F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt的单调性为[    ]．
选项 A、在(一∞，+∞)上单调增加
B、在(一∞，+∞)上单调减少
C、在(一∞，0)上单调增加，在(0，+∞)上单调减少
D、在(一∞，0)上单调减少，在(0，+∞)上单调增加
答案A
解析 F(x)=x2∫0xf(t)dt—∫0xt2f(t)dt，
    F’(x)=2x∫0xf(t)dt+x2f(x)一x2f(x)=2x∫0xf(t)dt．
    因f(x)＞0，当x＜0时，∫0xf(t)dt=一∫x0f(t)dt＜0，所以
    x∫0xf(t)dt＞0．
    当x＞0时，∫0xf(t)dt＞0，所以，x∫0xf(t)dt＞0．因此在(一∞，+∞)上F’(x)≥0．从而F(x)在(一∞，+∞)上是单调增加的．
    故选(A)．
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