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下列说法中,正确的是( )。 Ⅰ.具有10个叶子结点的二叉树中有9个度为2的结点 Ⅱ.设高度为5的二叉树上只有度为0和度为2的结点,则该二叉树中所包含的结点数至少为9 Ⅲ.一棵完全二叉树上有1001个结点,则可知叶子结点的个
下列说法中,正确的是( )。 Ⅰ.具有10个叶子结点的二叉树中有9个度为2的结点 Ⅱ.设高度为5的二叉树上只有度为0和度为2的结点,则该二叉树中所包含的结点数至少为9 Ⅲ.一棵完全二叉树上有1001个结点,则可知叶子结点的个
admin
2014-04-17
102
问题
下列说法中,正确的是( )。
Ⅰ.具有10个叶子结点的二叉树中有9个度为2的结点
Ⅱ.设高度为5的二叉树上只有度为0和度为2的结点,则该二叉树中所包含的结点数至少为9
Ⅲ.一棵完全二叉树上有1001个结点,则可知叶子结点的个数为501个
Ⅳ.高度为h的完全二叉树最少有2
h
个结点
选项
A、仅Ⅰ、Ⅱ
B、仅Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
C、仅Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ
D、仅Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
答案
D
解析
Ⅰ:二叉树叶子结点的个数比度为2的结点的个数多1,故Ⅰ正确。
总结:这个性质在选择题中常有体现(见下面的补充例题),并且需要灵活运用。比如题目可能问,二叉树中总的结点数为n,则树中空指针的个数是多少?可以将所有空指针看做叶子结点,则图6-6中原有的所有结点都成了双分支结点。因此,可得空指针域的个数为树中所有结点个数加1,即n+1个。
这个性质还可以扩展,即在一棵度为m的树中,度为1的结点数为n
1
,度为2的结点数为n
2
,…,度为m的结点数为n
m
,则叶子结点数n
0
=1+n
2
+2n
3
+…+(m一1)n
m
。推导过程如下:
总结点=n
0
+n
1
+n
2
+n
3
+…+n
m
……………………………① 总分支数=1×n
1
+2×n
2
+…+m×n
m
(度为m的结点引出m条分支)………………………② 总分支数=总结点数一1………………………………………………………………………③ 将式①和式②代入式③并化简得 n
0
=1+n
2
+2n
3
+…+(m一1)n
m
Ⅱ:最少结点的情况应该是除根结点层只有1个结点外,其余4层都有2个结点,因此结点总数为2×(5—1)+1=9,如图6-6所示,故Ⅱ正确。
总结:设高度为h的二叉树只有度为0和度为2的结点,则此类二叉树中所包含的结点数至少为2h—1。
Ⅲ:由二叉树的性质可知:n
0
=n
2
+1,且完全二叉树度为1的结点个数要么为0,要么为1。又因为二叉树的总结点个数n=n
0
+n
1
+n
2
。将n
0
=n
2
+1代入,可得n=2n
0
+n
1
-1:由n=1 001,得到2n
0
=1002+n
1
。 ①当n
1
=1时,无解。 ②当n
1
=0时,可解得n
0
=501。 故Ⅲ正确。
Ⅳ:高度为h的完全二叉树中,第1层~第h一1层构成一个高度为h—1的满二叉树,结点个数为2
h-1
-1。第h层至少有一个结点,所以最少的结点个数=(2
h-1
-1)+1=2
h-1
,故Ⅳ错误。
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计算机408题库学硕统考专业分类
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