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已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为4维列向节,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.
已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为4维列向节,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.
admin
2013-02-27
76
问题
已知4阶方阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为4维列向节,其中α
2
,α
3
,α
4
线性无关,α
1
=2α
2
-α
3
.如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,求线性方程组Ax=β的通解.
选项
答案
由α
2
,α
3
,α
4
线性无关及α
1
=2α
2
-α
3
知,向量组的秩r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3,即矩阵A的秩为3.因此Ax:0的基础解系中只包含一个向量.那么由 (α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)[*]=α
1
-2α
2
+α
3
=0 知,Ax=0的基础解系是(1,-2,1,0)
T
. 再由β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)[*]知,(1,1,1,1)
T
是Ax=β的一个特解. 故Ax=β的通解是k(1,-2,1,0)
T
+(1,1,1,1)
T
,其中k为任意常数.
解析
方程组的系数没有具体给出,应当从解的理论,解的结构人手来求解.
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考研数学三
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