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设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×m中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2，…，xn)= (Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的
设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×m中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2，…，xn)= (Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的
admin
2013-09-30
50
问题
设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A
ij
是A=(a
ij
)
n×m
中元素a
ij
(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=
(Ⅰ)记X=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
，把f(x
1
，x
2
，…，x
n
)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A
-1
；
(Ⅱ)二次型g(X)=X
T
AX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．
选项
答案
(Ⅰ)由题设， [*] 已知A为n阶实对称矩阵，从而上式两边可转置，即 f(x
1
，x
2
， …，x
n
)=(x
1
，x
2
， …，x
n
)=[*] 已知r(a)=n，从而｜A｜≠0，A可逆，且A
-1
=(1/｜A｜)A
*
，则由(1)式知 f(x
1
，x
2
， …，x
n
)=X
T
AX
-1
X且(A
T
)
-1
=(A
T
)
T
=A
-1
， 故f(x
1
，x
2
， …，x
n
)=X
2
A
-1
X是f(X)的矩阵表示，且相应矩阵为A
-1
，证毕． (Ⅱ)由于(A
-1
)AA
-1
=(A
T
)
-1
E=A
-1
，则A
-1
与A合同，于是g(X)=X
T
X与F(X) 有相同规范形，得证．
解析
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考研数学三
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