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设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×m中元素aij(i,j=1,2,…,n)的代数余子式,二次型f(x1,x2,…,xn)= (Ⅰ)记X=(x1,x2,…,xn)T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二次型f(x)的
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×m中元素aij(i,j=1,2,…,n)的代数余子式,二次型f(x1,x2,…,xn)= (Ⅰ)记X=(x1,x2,…,xn)T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二次型f(x)的
admin
2013-09-30
75
问题
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,A
ij
是A=(a
ij
)
n×m
中元素a
ij
(i,j=1,2,…,n)的代数余子式,二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=
(Ⅰ)记X=(x
1
,x
2
,…,x
n
)
T
,把f(x
1
,x
2
,…,x
n
)写成矩阵形式,并证明二次型f(x)的矩阵为A
-1
;
(Ⅱ)二次型g(X)=X
T
AX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.
选项
答案
(Ⅰ)由题设, [*] 已知A为n阶实对称矩阵,从而上式两边可转置,即 f(x
1
,x
2
, …,x
n
)=(x
1
,x
2
, …,x
n
)=[*] 已知r(a)=n,从而|A|≠0,A可逆,且A
-1
=(1/|A|)A
*
,则由(1)式知 f(x
1
,x
2
, …,x
n
)=X
T
AX
-1
X且(A
T
)
-1
=(A
T
)
T
=A
-1
, 故f(x
1
,x
2
, …,x
n
)=X
2
A
-1
X是f(X)的矩阵表示,且相应矩阵为A
-1
,证毕. (Ⅱ)由于(A
-1
)AA
-1
=(A
T
)
-1
E=A
-1
,则A
-1
与A合同,于是g(X)=X
T
X与F(X) 有相同规范形,得证.
解析
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考研数学三
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