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  3. 若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=hE，E是n阶单位矩阵)．

若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=hE，E是n阶单位矩阵)．

admin2022-01-23  8
问题 若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=hE，E是n阶单位矩阵)．
选项
答案因为任一个n维非零列向量均是A的特征向量，故A有n个线性无关的特征向量，从而A必与对角矩阵相似．现取n个单位向量ξi=(0，…，0，1，0，…，0)T，(i=1，2，…，n)为A的特征向量，其特征值分别为λ1，λ2，…，λn，那么令P=(E1，E2，…，ξn)=E，有[*]如果λ1≠λ2，则A(ξ1+ξ2)=λ1E1+λ2E2．因为每个凡维向量都是A的特征向量，又应有A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)，于是(λ1—λ)ε1+(λ2一λ)ξ2=0．由于λ1—λ，λ2一λ不全为0，与ε1，ε2线性无关相矛盾，所以必有λ1≠λ2．同理可知λ1≠λ2=…λn=k，故A=kE．
解析
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考研数学一

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