若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=hE，E是n阶单位矩阵)．

admin2022-01-23 12

问题若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=hE，E是n阶单位矩阵)．

选项

答案因为任一个n维非零列向量均是A的特征向量，故A有n个线性无关的特征向量，从而A必与对角矩阵相似．现取n个单位向量ξ_i=(0，…，0，1，0，…，0)^T，(i=1，2，…，n)为A的特征向量，其特征值分别为λ₁，λ₂，…，λ_n，那么令P=(E₁，E₂，…，ξ_n)=E，有[*]如果λ₁≠λ₂，则A(ξ₁+ξ₂)=λ₁E₁+λ₂E₂．因为每个凡维向量都是A的特征向量，又应有A(ξ₁+ξ₂)=λ(ξ₁+ξ₂)，于是(λ₁—λ)ε₁+(λ₂一λ)ξ₂=0．由于λ₁—λ，λ₂一λ不全为0，与ε₁，ε₂线性无关相矛盾，所以必有λ₁≠λ₂．同理可知λ₁≠λ₂=…λ_n=k，故A=kE．

解析

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考研数学一

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若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=hE，E是n阶单位矩阵)．

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