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设平面图形D由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0≤t≤2兀,a>0的第一拱与x轴围成,求该图形D对y轴的面积矩My.
设平面图形D由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0≤t≤2兀,a>0的第一拱与x轴围成,求该图形D对y轴的面积矩My.
admin
2018-07-23
74
问题
设平面图形D由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0≤t≤2兀,a>0的第一拱与x轴围成,求该图形D对y轴的面积矩M
y
.
选项
答案
题中所给的D是一个以摆线一拱 x=a(t-sint),y= a(1-cost),0≤t≤2π,a>0 为上边界,x轴为下边界,从x=0到x=2πa的曲边梯形.取竖条,其面积微元为ydx,它对y轴的面积为xydx,所以D对y轴的面积矩为 M
y
=∫
0
2πa
xydx. (*) 现在按此公式求M
y
. 将摆线表达式代入式(*),可以看成将积分变量由x换成t,得 M
y
=∫
0
2πa
xydx=∫
0
2π
a
3
(t-sint)(1-cost)
2
dt =a
3
∫
0
2π
t(1-cost)
2
dt-a
3
∫
0
2π
sint·(1-cost)
2
dt [*] 其中 I
1
=∫
0
2π
t(1-cost)
2
dt, I
2
=∫
0
2π
sint·(1-cost)
2
dt. 现用一个巧妙的办法计算I
1
,令t=2π-u,则 I
1
=∫
0
2π
(2π-u) (1-cosu)
2
(-du) =∫
0
2π
2π(1-cosu)
2
du-∫
0
2π
u(1-cosu)
2
du, 故 2I
1
=∫
0
2π
2π(1-cosu)
2
du, [*] 所以 M
y
=3a
2
π
2
.
解析
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考研数学二
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