求微分方程yˊˊ－2yˊ－e2x=0满足条件y(0)=1，yˊ(0)=1的特解．

admin2016-09-13 55

问题求微分方程yˊˊ－2yˊ－e^2x=0满足条件y(0)=1，yˊ(0)=1的特解．

选项

答案齐次方程yˊˊ－2yˊ=0的特征方程为λ²－2λ=0，由此求得特征根λ₁=0，λ₂=2．对应齐次方程的通解为[*]=C₁+C₂e^2x，设非齐次方程的特解为y^*=Axe^2x，则 (y^*)ˊ=(A+2Ax)e^2x， (y^*)ˊˊ=4A(1+x)e^2x．代入原方程，求得A=[*]，从而y^*=[*]xe^2x．于是，原方程通解为 y=[*]+y^*=C₁+(C₂+[*]x)e^2x．将y(0)=1和yˊ(0)=1代入通解求得[*]．从而，所求解为 y=[*](1+2x)e^2x．

解析

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