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设向量组α1，α2，…，αm线性无关，向量β1可用它们线性表示，β2不能用它们线性表示，证明向量组α1，α2，…，αm，λβ1+β2(λ为常数)线性无关．
设向量组α1，α2，…，αm线性无关，向量β1可用它们线性表示，β2不能用它们线性表示，证明向量组α1，α2，…，αm，λβ1+β2(λ为常数)线性无关．
admin
2011-10-28
160
问题
设向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关，向量β
1
可用它们线性表示，β
2
不能用它们线性表示，证明向量组α
1
，α
2
，…，α
m
，λβ
1
+β
2
(λ为常数)线性无关．
选项
答案
证明 设有实数k
1
，k
2
，…，k
m
，k使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
+k(λβ
1
+β
2
)=θ， 则必有k=0，否则， λβ
1
+β
2
= -(k
1
/k)α
1
-(k
2
/k)α
2
-…-(k
m
/k)α
m
(1) 又向量β
1
可用向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示，故存在l
1
，l
2
，…，l
m
使得 β
1
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
m
α
m
， (2) 由式(1)、式(2)可得 β
2
=(-λl
1
-k
1
/k)α
1
+(-λl
2
-k
2
/k)α
2
+…+(-λl
m
-k
m
/k)α
m
， 这与β
2
不能用α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示矛盾，于是有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
=θ， 又因为α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关，故k
1
，k
2
，…，k
m
全为零，所以α
1
，α
2
，…，α
m
，λβ
1
+β
2
线性无关．
解析
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考研数学三
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