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设向量组α1,α2,…,αm线性无关,向量β1可用它们线性表示,β2不能用它们线性表示,证明向量组α1,α2,…,αm,λβ1+β2(λ为常数)线性无关.
设向量组α1,α2,…,αm线性无关,向量β1可用它们线性表示,β2不能用它们线性表示,证明向量组α1,α2,…,αm,λβ1+β2(λ为常数)线性无关.
admin
2011-10-28
140
问题
设向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,向量β
1
可用它们线性表示,β
2
不能用它们线性表示,证明向量组α
1
,α
2
,…,α
m
,λβ
1
+β
2
(λ为常数)线性无关.
选项
答案
证明 设有实数k
1
,k
2
,…,k
m
,k使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
+k(λβ
1
+β
2
)=θ, 则必有k=0,否则, λβ
1
+β
2
= -(k
1
/k)α
1
-(k
2
/k)α
2
-…-(k
m
/k)α
m
(1) 又向量β
1
可用向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示,故存在l
1
,l
2
,…,l
m
使得 β
1
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
m
α
m
, (2) 由式(1)、式(2)可得 β
2
=(-λl
1
-k
1
/k)α
1
+(-λl
2
-k
2
/k)α
2
+…+(-λl
m
-k
m
/k)α
m
, 这与β
2
不能用α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示矛盾,于是有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
=θ, 又因为α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,故k
1
,k
2
,…,k
m
全为零,所以α
1
,α
2
,…,α
m
,λβ
1
+β
2
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0WF4777K
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考研数学三
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