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设f(x)的导数f’(x)的图象为过原点和点(2,0)的抛物线,开口向下,且f(x)的极小值为2,极大值为6,求f(x)。
设f(x)的导数f’(x)的图象为过原点和点(2,0)的抛物线,开口向下,且f(x)的极小值为2,极大值为6,求f(x)。
admin
2016-01-31
27
问题
设f(x)的导数f’(x)的图象为过原点和点(2,0)的抛物线,开口向下,且f(x)的极小值为2,极大值为6,求f(x)。
选项
答案
设f’(x)=ax
2
+bx+c(a<0)。 ∴F’(0)=0,∴c=0。 ∵f’(2)=0,∴4a+2b=0,∴b=-2a。 ∴f’(x)=ax
2
-2ax。 令f’(x)=0[*]驻点x
1
=0,x
2
=2。 又f"(x)=2ax-2a。 ∵f"(0)=-2a>0,∴x=0为极小值点,∴f(0)=2。 ∵f"(2)=2a<0,∴x=2为极大值点,∴f(2)=6。 f(x)=∫f’(x)dx=∫(ax
2
-2ax)dx=[*]x
3
-ax
2
+C, [*] ∴f(x)=-x
3
+3x
2
+2。
解析
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