(95年)设f(χ)、g(χ)在区间[-a,a](a>0)上连续.g(χ)为偶函数,且f(χ)满足条件f(χ)+f(-χ)=A(A为常数) (1)证明∫-aaf(χ)g(χ)dχ=A∫0ag(χ)dχ (2)利用(1)的结论计算定积分|si

admin2019-06-25  58

问题 (95年)设f(χ)、g(χ)在区间[-a,a](a>0)上连续.g(χ)为偶函数,且f(χ)满足条件f(χ)+f(-χ)=A(A为常数)
    (1)证明∫-aaf(χ)g(χ)dχ=A∫0ag(χ)dχ
    (2)利用(1)的结论计算定积分|sinχ|arctaneχdχ.

选项

答案由于∫-aaf(χ)g(χ)dχ=∫-a0f(χ)g(χ)dχ+∫0af(χ)g(χ)dχ 又∫(χ)g(χ)dχ[*]∫f(-t)g(-t)dt=∫f(-t)g(t)dt =∫0af(-χ)g(χ)dχ 所以∫-aaf(χ)g(χ)dχ=∫0a[f(χ)+f(-χ)]g(χ)dχ=A∫0ag(χ)dχ (2)取f(χ)=arctaneχ,g(χ)=|sinχ|,a=[*] f(χ)+f(-χ)=arctaneχ+arctane-χ 由于(arctaneχ+arctane-χ)=[*]≡0 则arctaneχ+arctane-χ=A 令χ=0,得2arctan1=A,A=[*] 即f(χ)+f(-χ)=[*] 于是有[*]

解析
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