2. 考研
  3. (95年)设f(χ)、g(χ)在区间[－a，a](a＞0)上连续．g(χ)为偶函数，且f(χ)满足条件f(χ)＋f(－χ)＝A(A为常数) (1)证明∫-aaf(χ)g(χ)dχ＝A∫0ag(χ)dχ (2)利用(1)的结论计算定积分｜si

(95年)设f(χ)、g(χ)在区间[－a，a](a＞0)上连续．g(χ)为偶函数，且f(χ)满足条件f(χ)＋f(－χ)＝A(A为常数) (1)证明∫-aaf(χ)g(χ)dχ＝A∫0ag(χ)dχ (2)利用(1)的结论计算定积分｜si

admin2019-06-25  112
问题 (95年)设f(χ)、g(χ)在区间[－a，a](a＞0)上连续．g(χ)为偶函数，且f(χ)满足条件f(χ)＋f(－χ)＝A(A为常数)
    (1)证明∫-aaf(χ)g(χ)dχ＝A∫0ag(χ)dχ
    (2)利用(1)的结论计算定积分｜sinχ｜arctaneχdχ．
选项
答案由于∫-aaf(χ)g(χ)dχ＝∫-a0f(χ)g(χ)dχ＋∫0af(χ)g(χ)dχ 又∫(χ)g(χ)dχ[*]∫f(－t)g(－t)dt＝∫f(－t)g(t)dt ＝∫0af(－χ)g(χ)dχ 所以∫-aaf(χ)g(χ)dχ＝∫0a[f(χ)＋f(－χ)]g(χ)dχ＝A∫0ag(χ)dχ (2)取f(χ)＝arctaneχ，g(χ)＝｜sinχ｜，a＝[*] f(χ)＋f(－χ)＝arctaneχ＋arctane－χ 由于(arctaneχ＋arctane－χ)＝[*]≡0 则arctaneχ＋arctane－χ＝A 令χ＝0，得2arctan1＝A，A＝[*] 即f(χ)＋f(－χ)＝[*] 于是有[*]
解析
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考研数学三

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