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设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3α一2A2α.证明:(Ⅰ)矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆; (Ⅱ)BTB是正定矩阵.
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3α一2A2α.证明:(Ⅰ)矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆; (Ⅱ)BTB是正定矩阵.
admin
2020-01-15
120
问题
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A
2
α线性无关,且A
3
α=3α一2A2α.证明:(Ⅰ)矩阵B=(α,Aα,A
4
α)可逆;
(Ⅱ)B
T
B是正定矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)由于A
3
α=3Aα一2A
2
α,故 A
4
α=3A
2
α一2A
3
α=3A
2
α一2(3Aα一2A
2
α)=7A
2
α一6Aα. 若k
1
α+k
2
Aα+k
3
A
4
α=0,即k
1
α+k
2
Aα+k
3
(7A
2
α一6Aα)=0, 亦即k
1
α+(k
2
—6k
3
)Aα+7k
3
A
2
α=0,因为α,Aα,A
2
α线性无关,故 [*] 所以,α,Aα,A
4
α线性无关,因而矩阵B可逆. (Ⅱ)因为(B
T
B)
T
=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B,故B
T
B是对称矩阵.又[*]x≠0,由于矩阵B可逆,恒有Bx≠0,那么恒有x
T
(B
T
B)x=(Bx)
T
(Bx)>0,故二次型x
T
(B
T
B)x是正定二次型,从而矩阵B
T
B是正定矩阵.
解析
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