设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3α一2A2α．证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．

admin2020-01-15 129

问题设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A²α线性无关，且A³α=3α一2A2α．证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A⁴α)可逆；
(Ⅱ)B^TB是正定矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由于A³α=3Aα一2A²α，故 A⁴α=3A²α一2A³α=3A²α一2(3Aα一2A²α)=7A²α一6Aα．若k₁α+k₂Aα+k₃A⁴α=0，即k₁α+k₂Aα+k₃(7A²α一6Aα)=0，亦即k₁α+(k₂—6k₃)Aα+7k₃A²α=0，因为α，Aα，A²α线性无关，故 [*] 所以，α，Aα，A⁴α线性无关，因而矩阵B可逆． (Ⅱ)因为(B^TB)^T=B^T(B^T)^T=B^TB，故B^TB是对称矩阵．又[*]x≠0，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有x^T(B^TB)x=(Bx)^T(Bx)＞0，故二次型x^T(B^TB)x是正定二次型，从而矩阵B^TB是正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2WA4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3α一2A2α．证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．

考研数学二

＝_______．

二重积分的符号为____________．

微分方程(y2＋χ)dχ－2χydy＝0的通解为_______．

已知某产品总产量的变化率是时间t(单位：年)的函数f(t)＝2t＋5(t≥0)求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少?

(2013年)设封闭曲线L的极坐标方程为r＝cos3θ，则L所围平面图形的面积是________．

在曲线y=x2(0≤x≤1)上取一点(t，t2)(0＜t＜1)，设A1是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=0所围成图形的面积；A2是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=1所围成图形的面积，则t取_______时，A=A1+A2取最

(1994年)设y＝(1)求函数的增减区间及极值；(2)求函数图形的凹凸区间及拐点；(3)求其渐近线；(4)作出其图形．

设有定义在(－∞，＋∞)上的函数：则其中在定义域上连续的函数是_______．

设y＝f(χ)为区间[0，1]上的非负连续函数．(1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(χ)为曲边的曲边梯形的面积；(2)设f(χ)在(0，1)内可导，且f′(χ)＞－

已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最大?

驾驶机动车遇到这种情况要靠右侧停车等待。

当旧的经济关系日益腐朽，新的经济关系日益形成时，旧的道德体系也必将为新的道德体系所代替。人们的道德水平必然随着社会实践由低级到高级的发展而不断进步。这说明【】

日本血吸虫：中华支睾吸虫：

女性，26岁。间歇性牙龈出血伴月经过多1年。体检：双下肢可见散在出血点及紫癜，肝脾不大。血红蛋白120g／L，红细胞4．6×1012／L，白细胞5．5×109／L，分类正常，血小板25×109／L。特发性血小板减少性紫癜诊断要点不包括

十二指肠癌较罕见发生在哪段?()。

根据《中华人民共和国水污染防治法》对饮用水水源保护区的有关规定，下列说法中正确的是()。

我国地貌景观可分为花岗岩山地、岩溶山水、丹霞地貌等等，下列哪一组景观是上述三种地貌景观的典型代表()。

一线贯通是公文中显示主旨的方法之一，指的是主旨分散于一篇文章各个部分的小标题、小观点或者是条旨句、段旨句中，起一个穿针引线、提纲挈领的作用。()

[*]

HereIwanttotrytogiveyouananswertothequestion:whatpersonalqualitiesare【C1】______inateacher?Probablynotwope