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设向量组α1=(1,0,1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(1,3,5)T不能由向量组β1=(1,1,1)T,β2=(1,2,3)T,β3=(3,4,α)T线性表示. (Ⅰ)求α的值; (Ⅱ)将β1,β2,β3用α1,α2,α3线性表示
设向量组α1=(1,0,1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(1,3,5)T不能由向量组β1=(1,1,1)T,β2=(1,2,3)T,β3=(3,4,α)T线性表示. (Ⅰ)求α的值; (Ⅱ)将β1,β2,β3用α1,α2,α3线性表示
admin
2015-09-12
30
问题
设向量组α
1
=(1,0,1)
T
,α
2
=(0,1,1)
T
,α
3
=(1,3,5)
T
不能由向量组β
1
=(1,1,1)
T
,β
2
=(1,2,3)
T
,β
3
=(3,4,α)
T
线性表示.
(Ⅰ)求α的值;
(Ⅱ)将β
1
,β
2
,β
3
用α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
选项
答案
(Ⅰ)解1 4个3维向量β
1
,β
2
,β
3
,α
i
线性相关(i=1,2,3),若β
1
,β
2
,β
3
线性无关,则α
i
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示(i=1,2,3),这与题设矛盾,于是β
1
,β
2
,β
3
线性相关,从而 [*]于是α=5.此时,α
1
不能由向量组β
1
,β
2
,β
3
线性表示. △解2 考虑下列矩阵的初等行变换 [*]可见当α≠5时,α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示;当α=5时,α
1
,α
2
不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,故α=5. (Ⅱ)解 令矩阵A=[α
1
α
2
α
3
∣β
1
,β
2
,β
3
],对A施行初等行变换 [*] 从而,β
1
=2α
2
+4α
2
一α
3
,β
2
=α
1
+2α
2
,β
3
=5α
1
+10α
2
—2α
3
.
解析
本题主要考查向量空间的基本知识及求线性表示式的基本运算.注意,3个线性无关的3维向量必可作为3维向量空间的基,从而可线性表示任一3维向量,由此立即可知题给的向量组β
1
,β
2
,β
3
线性相关,于是由矩阵[β
1
β
2
β
3
]的秩小于3或行列式∣β
1
β
2
β
3
∣=0,便可求出α来.
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考研数学三
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