2. 考研
  3. 设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，α)T线性表示． (Ⅰ)求α的值； (Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示

设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，α)T线性表示． (Ⅰ)求α的值； (Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示

admin2015-09-12  55
问题 设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，α)T线性表示．
    (Ⅰ)求α的值；
    (Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．
选项
答案(Ⅰ)解1 4个3维向量β1，β2，β3，αi线性相关(i=1，2，3)，若β1，β2，β3线性无关，则αi可由β1，β2，β3线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是β1，β2，β3线性相关，从而 [*]于是α=5．此时，α1不能由向量组β1，β2，β3线性表示． △解2 考虑下列矩阵的初等行变换 [*]可见当α≠5时，α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示；当α=5时，α1，α2不能由β1，β2，β3线性表示，故α=5． (Ⅱ)解 令矩阵A=[α1 α2 α3∣β1，β2，β3]，对A施行初等行变换 [*] 　　从而，β1=2α2+4α2一α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2—2α3．
解析 本题主要考查向量空间的基本知识及求线性表示式的基本运算．注意，3个线性无关的3维向量必可作为3维向量空间的基，从而可线性表示任一3维向量，由此立即可知题给的向量组β1，β2，β3线性相关，于是由矩阵[β1 β2 β3]的秩小于3或行列式∣β1 β2 β3∣=0，便可求出α来．
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考研数学三

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