设f(x)在(－∞，+∞)上是导数连续的有界函数，｜f(x)－f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1．

admin2022-06-30 33

问题设f(x)在(－∞，+∞)上是导数连续的有界函数，｜f(x)－f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1．

选项

答案因为f(x)有界，所以[*]e^－xf(x)=0，于是e^－xf(x)｜_x^+∞=∫_x^+∞[e^－xf(x)]’dx，即e^－xf(x)= ∫_x^+∞－e^－x[f(x)－f’(x)]dx，两边取绝对值得 e^－x｜f(x)｜≤∫_x^+∞e^－x｜f(x)－f’(x)｜dx≤∫_x^+∞e^－xdx=e^－x，故｜f(x)｜≤1．

解析

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考研数学二

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