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  3. 设f(x)在(－∞，+∞)上是导数连续的有界函数，｜f(x)－f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1．

设f(x)在(－∞，+∞)上是导数连续的有界函数，｜f(x)－f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1．

admin2022-06-30  52
问题 设f(x)在(－∞，+∞)上是导数连续的有界函数，｜f(x)－f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1．
选项
答案因为f(x)有界，所以[*]e－xf(x)=0， 于是e－xf(x)｜x+∞=∫x+∞[e－xf(x)]’dx， 即e－xf(x)= ∫x+∞－e－x[f(x)－f’(x)]dx，两边取绝对值得 e－x｜f(x)｜≤∫x+∞e－x｜f(x)－f’(x)｜dx≤∫x+∞e－xdx=e－x，故｜f(x)｜≤1．
解析
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考研数学二

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