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设f(x)在(-∞,+∞)上是导数连续的有界函数,|f(x)-f’(x)|≤1,证明:|f(x)|≤1.
设f(x)在(-∞,+∞)上是导数连续的有界函数,|f(x)-f’(x)|≤1,证明:|f(x)|≤1.
admin
2022-06-30
17
问题
设f(x)在(-∞,+∞)上是导数连续的有界函数,|f(x)-f’(x)|≤1,证明:|f(x)|≤1.
选项
答案
因为f(x)有界,所以[*]e
-x
f(x)=0, 于是e
-x
f(x)|
x
+∞
=∫
x
+∞
[e
-x
f(x)]’dx, 即e
-x
f(x)= ∫
x
+∞
-e
-x
[f(x)-f’(x)]dx,两边取绝对值得 e
-x
|f(x)|≤∫
x
+∞
e
-x
|f(x)-f’(x)|dx≤∫
x
+∞
e
-x
dx=e
-x
,故|f(x)|≤1.
解析
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考研数学二
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