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  3. 设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明

设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明

admin2018-12-27  58
问题 设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明
选项
答案方法一：将f(x)作奇延拓，展开为正弦级数，令[*]则 an=0，n=0，1，2，…， [*] 故由狄利克雷定理，可知 [*] 而当x=π时，该级数收敛于零。 方法二：将f(x)作偶延拓，展开为余弦级数，令g2(x)=x2，－π≤x≤π，则 bn=0，n=1，2，…， [*] 故由收敛定理，可知 [*] 令x=π得，[*] 方法三：将f(x)作零延拓，令[*]且由零延拓与奇、偶延拓的关系，即知[*]因此，利用方法一和方法二的结果，有 [*] 在x=π处，该级数收敛于[*]因此有[*]
解析
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考研数学一

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