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设函数f(x)=x2,x∈[0,π],将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数,并证明
设函数f(x)=x2,x∈[0,π],将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数,并证明
admin
2018-12-27
42
问题
设函数f(x)=x
2
,x∈[0,π],将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数,并证明
选项
答案
方法一:将f(x)作奇延拓,展开为正弦级数,令[*]则 a
n
=0,n=0,1,2,…, [*] 故由狄利克雷定理,可知 [*] 而当x=π时,该级数收敛于零。 方法二:将f(x)作偶延拓,展开为余弦级数,令g
2
(x)=x
2
,-π≤x≤π,则 b
n
=0,n=1,2,…, [*] 故由收敛定理,可知 [*] 令x=π得,[*] 方法三:将f(x)作零延拓,令[*]且由零延拓与奇、偶延拓的关系,即知[*]因此,利用方法一和方法二的结果,有 [*] 在x=π处,该级数收敛于[*]因此有[*]
解析
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考研数学一
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