设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明

admin2018-12-27 38

问题设函数f(x)=x²，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明

选项

答案方法一：将f(x)作奇延拓，展开为正弦级数，令[*]则 a_n=0，n=0，1，2，…， [*] 故由狄利克雷定理，可知 [*] 而当x=π时，该级数收敛于零。方法二：将f(x)作偶延拓，展开为余弦级数，令g₂(x)=x²，－π≤x≤π，则 b_n=0，n=1，2，…， [*] 故由收敛定理，可知 [*] 令x=π得，[*] 方法三：将f(x)作零延拓，令[*]且由零延拓与奇、偶延拓的关系，即知[*]因此，利用方法一和方法二的结果，有 [*] 在x=π处，该级数收敛于[*]因此有[*]

解析

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考研数学一

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