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设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
admin
2012-02-09
45
问题
设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，B
T
为B的转置矩阵，试证：B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
选项
答案
必要性．设B
T
AB为正定矩阵，按定义V x≠0，恒有x
T
(B
T
AB)x>0．即V x≠0，恒有(Bx)
T
A(Bx)>0．即V x≠0，恒有Bx≠0．齐次线性方程组Bx=0只有零解，故r(B)=n． 充分性．因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
(B
T
)
T
=B
T
AB，知B<
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3bvi777K
本试题收录于：
在职会计硕士（综合能力）题库专业硕士分类
0
在职会计硕士（综合能力）
专业硕士
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