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设A为m阶实对称矩阵,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
设A为m阶实对称矩阵,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
admin
2012-02-09
60
问题
设A为m阶实对称矩阵,B为m×n实矩阵,B
T
为B的转置矩阵,试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
选项
答案
必要性.设B
T
AB为正定矩阵,按定义V x≠0,恒有x
T
(B
T
AB)x>0.即V x≠0,恒有(Bx)
T
A(Bx)>0.即V x≠0,恒有Bx≠0.齐次线性方程组Bx=0只有零解,故r(B)=n. 充分性.因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
(B
T
)
T
=B
T
AB,知B<
解析
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本试题收录于:
在职会计硕士(综合能力)题库专业硕士分类
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在职会计硕士(综合能力)
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