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设函数f(x),g(x)均在闭区间[a,b]上连续,f(a)=g(b),f(b)=g(a),且f(a)≠g(b), 证明:存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=g(ξ)
设函数f(x),g(x)均在闭区间[a,b]上连续,f(a)=g(b),f(b)=g(a),且f(a)≠g(b), 证明:存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=g(ξ)
admin
2013-12-11
57
问题
设函数f(x),g(x)均在闭区间[a,b]上连续,f(a)=g(b),f(b)=g(a),且f(a)≠g(b),
证明:存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=g(ξ)
选项
答案
令F(x)=f(x)-g(x),因为f(x),g(x)均在闭区间[a,b]上连续,所以F(x)也在闭区间 [a,b]上连续,且F(a)=f(a)-g(a),F(b)=f(b)-g(b). 由于f(a)≠f(b),所以f(a)>f(b)或f(a)<f(b). 当f(a)<f(b)时,由f(a)=g(b),f(b)=g(a),可知 F(a)=f(a)-g(a)=f(a)-f(b)<0, F(b)=f(b)-g(b)=f(b)-f(a)>0. 由连续函数的介值定理可知,存在ξ∈(a,b),使F(ξ)=0,即f(ξ)=g(ξ). 类似可证当f(a)>f(b)时结论仍然成立.
解析
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数学
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