设线性方程组与方程(Ⅱ)：x1+2x2+x3=a-1有公共解，求a的值及所有公共解。

admin2015-09-14 47

问题设线性方程组

与方程(Ⅱ)：x₁+2x₂+x₃=a-1有公共解，求a的值及所有公共解。

选项

答案方程组(Ⅰ)的系数矩阵A的行列式为 [*] (1)当|A|≠0，即口≠1且a≠2时，方程组(Ⅰ)只有零解，而零解x=(0，0，0)^T不满足方程(Ⅱ)，故当a≠1且a≠2时，(Ⅰ)与(Ⅱ)无公共解； (2)当a=1时，由A的初等行变换 [*] 得方程组(Ⅰ)的通解为x=c(1，0，一1)^T，其中c为任意常数。显然当a=1时，(Ⅱ)是(Ⅰ)的一个方程，(Ⅰ)的解都满足(Ⅱ)，所以，当a=1时，(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解是x=c(1，0，一1)^T，其中c为任意常数； (3)当a=2时，由A的初等行变换 [*] 得(Ⅰ)的通解为x=k(0，1，一1)^T，要使它是(Ⅱ)的解，将其代入方程(Ⅱ)，得k=1，故当a=2时，(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为x=(0，1，一1)^T。

解析

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考研数学三

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