设，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为(1，2，1)T，求a，Q。

admin2015-09-14 13

问题设

，正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵，若Q的第1列为

(1，2，1)^T，求a，Q。

选项

答案由题设，ξ=(1，2，1)^T为A的一个特征向量，于是有Aξ=λ₁ξ，即 [*] 故Q为所求的正交矩阵。

解析本题主要考查实对称矩阵正交相似对角化的概念与运算、特征值与特征向量的定义与计算。注意当实对称矩阵A的特征值都是单特征值时，只要求出每个特征值的一个特征向量，再单位化，便可得到n阶实对称矩阵A的n个两两正交的单位特征向量，以它们为列向量便可构成所求的正交矩阵Q，但必须注意Q的列向量的排列次序必须与对角矩阵Q^TAQ的主对角线元素(A的特征值)的排列次序相对应。

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考研数学三

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