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已知二次型f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+3x32+2x1x3． (I)求正交变换x=Qy将二次型f(x1，x2，x3)化为标准型； (Ⅱ)证明：
已知二次型f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+3x32+2x1x3． (I)求正交变换x=Qy将二次型f(x1，x2，x3)化为标准型； (Ⅱ)证明：
admin
2022-09-22
54
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=3x
1
2
+4x
2
2
+3x
3
2
+2x
1
x
3
．
(I)求正交变换x=Qy将二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准型；
(Ⅱ)证明：
选项
答案
(I)二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=3x
1
2
+4x
2
2
+3x
3
2
+2x
1
x
3
对应的矩阵为A=[*] 因为｜A-λE｜=[*]=-(λ-2)(λ-4)
2
=0， 所以A的特征值为λ
1
=2，λ
2
=λ
3
=4． 当λ
1
=2时，解(A-2E)x=0． 由A-2E=[*]得对应于λ
1
=2的特征向量为α
1
=[*] 当λ
2
=λ
3
=4时，解(A-4E)x=0． 由A-4E=[*]得对应于λ
2
=λ
3
=4的特征向量为α
2
=[*]α
3
=[*] α
1
，α
2
，α
3
已互相正交，故只需将其单位化得 [*] 令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=[*]经正交变换x=Qy，将二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准型f(y
1
，y
2
，y
3
)=2y
1
2
+4y
2
2
+4y
3
2
． (Ⅱ)由(I)得f(x
1
，x
2
，x
3
)[*]f(y
1
，y
2
，y
3
)=2y
1
2
+4y
2
2
+4y
3
2
， 而2(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
)≤2y
1
2
+4y
2
2
+4y
3
2
≤4(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
)， 故2≤[*]≤4(y
1
，y
2
，y
3
≠0)． 因此，[*]=2．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Pf4777K
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考研数学二
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