2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+3x32+2x1x3． (I)求正交变换x=Qy将二次型f(x1，x2，x3)化为标准型； (Ⅱ)证明：

已知二次型f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+3x32+2x1x3． (I)求正交变换x=Qy将二次型f(x1，x2，x3)化为标准型； (Ⅱ)证明：

admin2022-09-22  28
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+3x32+2x1x3．
    (I)求正交变换x=Qy将二次型f(x1，x2，x3)化为标准型；
    (Ⅱ)证明：
选项
答案(I)二次型f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+3x32+2x1x3对应的矩阵为A=[*] 因为｜A-λE｜=[*]=-(λ-2)(λ-4)2=0， 所以A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=4． 当λ1=2时，解(A-2E)x=0． 由A-2E=[*]得对应于λ1=2的特征向量为α1=[*] 当λ2=λ3=4时，解(A-4E)x=0． 由A-4E=[*]得对应于λ2=λ3=4的特征向量为α2=[*]α3=[*] α1，α2，α3已互相正交，故只需将其单位化得 [*] 令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]经正交变换x=Qy，将二次型f(x1，x2，x3)化为标准型f(y1，y2，y3)=2y12+4y22+4y32． (Ⅱ)由(I)得f(x1，x2，x3)[*]f(y1，y2，y3)=2y12+4y22+4y32， 而2(y12+y22+y32)≤2y12+4y22+4y32≤4(y12+y22+y32)， 故2≤[*]≤4(y1，y2，y3≠0)． 因此，[*]=2．
解析
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考研数学二

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