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已知二次型f(x1,x2,x3)=3x12+4x22+3x32+2x1x3. (I)求正交变换x=Qy将二次型f(x1,x2,x3)化为标准型; (Ⅱ)证明:
已知二次型f(x1,x2,x3)=3x12+4x22+3x32+2x1x3. (I)求正交变换x=Qy将二次型f(x1,x2,x3)化为标准型; (Ⅱ)证明:
admin
2022-09-22
46
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=3x
1
2
+4x
2
2
+3x
3
2
+2x
1
x
3
.
(I)求正交变换x=Qy将二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准型;
(Ⅱ)证明:
选项
答案
(I)二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=3x
1
2
+4x
2
2
+3x
3
2
+2x
1
x
3
对应的矩阵为A=[*] 因为|A-λE|=[*]=-(λ-2)(λ-4)
2
=0, 所以A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=λ
3
=4. 当λ
1
=2时,解(A-2E)x=0. 由A-2E=[*]得对应于λ
1
=2的特征向量为α
1
=[*] 当λ
2
=λ
3
=4时,解(A-4E)x=0. 由A-4E=[*]得对应于λ
2
=λ
3
=4的特征向量为α
2
=[*]α
3
=[*] α
1
,α
2
,α
3
已互相正交,故只需将其单位化得 [*] 令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*]经正交变换x=Qy,将二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准型f(y
1
,y
2
,y
3
)=2y
1
2
+4y
2
2
+4y
3
2
. (Ⅱ)由(I)得f(x
1
,x
2
,x
3
)[*]f(y
1
,y
2
,y
3
)=2y
1
2
+4y
2
2
+4y
3
2
, 而2(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
)≤2y
1
2
+4y
2
2
+4y
3
2
≤4(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
), 故2≤[*]≤4(y
1
,y
2
,y
3
≠0). 因此,[*]=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Pf4777K
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考研数学二
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