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设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0． 证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0． 证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．
admin
2016-10-20
96
问题
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A
k
x=0有解向量α，且A
k-1
α≠0．
证明：向量组α，Aα，…，A
k-1
α是线性无关的．
选项
答案
(1)(定义法，同乘) 设有常数l
1
，l
2
，…，l
k
，使得 l
1
α+l
2
Aα+…+l
k
A
k-1
α=0， 用A
k-1
左乘上式，得A
k-1
(l
1
α+l
2
Aa+…+l
k
A
k-1
α)=0． 由A
k
α=0，知A
k+1
α=A
k+2
α=…=0，从而有l
1
A
k-1
α=0．因为A
k-1
α≠0，所以l
1
=0． 类似l
2
=l
3
=…=l
k
=0，故向量组α，Aα，…，A
k-1
α线性无关． (2)(友证法) 如α，Aα，A
2
α，…，A
k-1
α线性相关，则存在不全为0的数l
1
，l
2
，…，l
k
，使 l
1
α+l
2
Aα+…+l
k
A
k-1
α=0． 设l
1
，l
2
，…，l
k
中第一个不为0的数是l
i
，则 l
i
A
i-1
α+l
i+1
A
i
α+…+l
k
A
k-1
α=0． 用A
k-i
左乘上式，利用A
k
α=A
k+1
α=…=0，得l
i
A
k-1
α=0． 由于l
i
≠0，得A
k-1
α=0，与已知矛盾．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4ST4777K
0
考研数学三
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