2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0． 证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0． 证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2016-10-20  101
问题 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．
证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．
选项
答案(1)(定义法，同乘) 设有常数l1，l2，…，lk，使得 l1α+l2Aα+…+lkAk-1α=0， 用Ak-1左乘上式，得Ak-1(l1α+l2Aa+…+lkAk-1α)=0． 由Akα=0，知Ak+1α=Ak+2α=…=0，从而有l1Ak-1α=0．因为Ak-1α≠0，所以l1=0． 类似l2=l3=…=lk=0，故向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关． (2)(友证法) 如α，Aα，A2α，…，Ak-1α线性相关，则存在不全为0的数l1，l2，…，lk，使 l1α+l2Aα+…+lkAk-1α=0． 设l1，l2，…，lk中第一个不为0的数是li，则 liAi-1α+li+1Aiα+…+lkAk-1α=0． 用Ak-i左乘上式，利用Akα=Ak+1α=…=0，得liAk-1α=0． 由于li≠0，得Ak-1α=0，与已知矛盾．
解析
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考研数学三

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