设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2016-10-20 70

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k-1α≠0．
证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案(1)(定义法，同乘) 设有常数l₁，l₂，…，l_k，使得 l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k-1α=0，用A^k-1左乘上式，得A^k-1(l₁α+l₂Aa+…+l_kA^k-1α)=0．由A^kα=0，知A^k+1α=A^k+2α=…=0，从而有l₁A^k-1α=0．因为A^k-1α≠0，所以l₁=0．类似l₂=l₃=…=l_k=0，故向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关． (2)(友证法) 如α，Aα，A²α，…，A^k-1α线性相关，则存在不全为0的数l₁，l₂，…，l_k，使 l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k-1α=0．设l₁，l₂，…，l_k中第一个不为0的数是l_i，则 l_iA^i-1α+l_i+1Aⁱα+…+l_kA^k-1α=0．用A^k-i左乘上式，利用A^kα=A^k+1α=…=0，得l_iA^k-1α=0．由于l_i≠0，得A^k-1α=0，与已知矛盾．

解析

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考研数学三

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设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

考研数学三

[*]

已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：(1)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?(2)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n

设A，B是同阶正定矩阵，则下列命题错误的是()．

证明[*]

证明：双曲线xy＝a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2．

判别下列级数是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛?

将函数展为x的幂级数．

(14年4月真题)国际复兴开发银行的组织机构包括()

最可能的诊断是为证实临床诊断，最有价值的检查手段是

化学毒物进入机体时的吸收程度为

()是新建筑物施工定位和做施工总平面的依据。

随着两极格局的结束，各种政治力量及其相互关系发生了重大变化，世界格局朝着_________的方向发展。

The　sorting　method　described　by　the　code　is　called(67).

假设某台式计算机的内存储器容量为256MB，硬盘容量为40GB，硬盘的容量是内存容量的()。

Beforeabigexam,asoundnight’ssleepwilldoyoumoregoodthanporingovertextbooks.That,atleast,isthefolkwisdom.A

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已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：(1)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?(2)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n

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证明：双曲线xy＝a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2．

判别下列级数是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛?

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最可能的诊断是为证实临床诊断，最有价值的检查手段是

化学毒物进入机体时的吸收程度为

()是新建筑物施工定位和做施工总平面的依据。

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