设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2016-10-20 69

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k-1α≠0．
证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案(1)(定义法，同乘) 设有常数l₁，l₂，…，l_k，使得 l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k-1α=0，用A^k-1左乘上式，得A^k-1(l₁α+l₂Aa+…+l_kA^k-1α)=0．由A^kα=0，知A^k+1α=A^k+2α=…=0，从而有l₁A^k-1α=0．因为A^k-1α≠0，所以l₁=0．类似l₂=l₃=…=l_k=0，故向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关． (2)(友证法) 如α，Aα，A²α，…，A^k-1α线性相关，则存在不全为0的数l₁，l₂，…，l_k，使 l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k-1α=0．设l₁，l₂，…，l_k中第一个不为0的数是l_i，则 l_iA^i-1α+l_i+1Aⁱα+…+l_kA^k-1α=0．用A^k-i左乘上式，利用A^kα=A^k+1α=…=0，得l_iA^k-1α=0．由于l_i≠0，得A^k-1α=0，与已知矛盾．

解析

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考研数学三

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设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

考研数学三

[*]

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已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：(1)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?(2)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?

利用概率测度的性质证明：在投掷两枚硬币的试验中，第一枚是均匀的当且仅当P({(H，H)，(H，T)})=1/2；第二枚硬币是均匀的当且仅当P({(H，H)，(T，H)})=1/2，其中H表示硬币出现的是正面，T表示硬币出现的是反面．

用文氏图和几何概率解释两个事件A与B相互独立的含义．

判断下列级数的绝对收敛性和条件收敛性

设∑与а∑满足斯托斯克斯定理中的条件，函数f(x，y，z)与g(x，y，z)具有连续二阶偏导数，f▽g表示向量▽g数乘f，即f▽g＝f(gx，gy，gz)＝(fgx，fgy，fgz)证明：

设，试用定义证明f(x，y)在点(0，0)处可微分．

判别级数的敛散性．

设函数f(u)在(0，∞)内具有二阶导数，且

行车中当驾驶人意识到机动车爆胎时，应在控制住方向的情况下采取紧急制动，迫使机动车迅速停住。

下列关于Internet网中主机、IP地址和域名的叙述，错误的是________。

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下列主要用于表面麻醉的药是

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五代花鸟画家黄筌和徐熙分别创造了不同的绘画风格，人称“黄家富贵，_______。”

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