设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2016-10-20 43

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k-1α≠0．
证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案(1)(定义法，同乘) 设有常数l₁，l₂，…，l_k，使得 l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k-1α=0，用A^k-1左乘上式，得A^k-1(l₁α+l₂Aa+…+l_kA^k-1α)=0．由A^kα=0，知A^k+1α=A^k+2α=…=0，从而有l₁A^k-1α=0．因为A^k-1α≠0，所以l₁=0．类似l₂=l₃=…=l_k=0，故向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关． (2)(友证法) 如α，Aα，A²α，…，A^k-1α线性相关，则存在不全为0的数l₁，l₂，…，l_k，使 l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k-1α=0．设l₁，l₂，…，l_k中第一个不为0的数是l_i，则 l_iA^i-1α+l_i+1Aⁱα+…+l_kA^k-1α=0．用A^k-i左乘上式，利用A^kα=A^k+1α=…=0，得l_iA^k-1α=0．由于l_i≠0，得A^k-1α=0，与已知矛盾．

解析

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考研数学三

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设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

考研数学三

已知向量组α1=(1，2，3，4)，α2=(2，3，4，5)，α3=(3，4，5，6)，α4=(4，5，6，t)，且r(α1，α2，α3，α4)=2，则t=________．

求曲线x2＋z2＝10，y2＋z2＝10在点(1，1，3)处的切线和法平面方程．

将函数分别展开成正弦级数和余弦级数．

设f(x)在[a，b]上可积，又，证明φ(x)是[a，b]上的连续函数．

利用格林公式，计算下列第二类曲线积分：

设u＝f(x，z)，而z＝z(x，y)是由方程z＝x＋yψ(z)所确定的隐函数，其中f有连续偏导数，而ψ有连续导数，求du．

求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d2y／dx2．设f〞(t)存在且不为零．

设水以常速(即单位时间注入的水的体积为常数)注入图2．7所示的罐中，直至将水罐注满．画出水位高度随时问变化的函数y＝y(t)的图形(不要求精确图形，但应画出曲线的凹凸方向并表示出拐点)．

求常数a、b、c的值，使函数f(x，y，z)＝axy2＋byz＋cx3z2在点(1，－1)处沿z轴正方向的方向导数成为各方向的方向导数中的最大者，且此最大值为6

社会主义初级阶段的主要矛盾是（）

心悸怔仲、胸闷刺痛、口唇紫黯属风湿性心脏瓣膜病哪一证型

【2009年第97题】某地区要开运动会，需搭建一临时体育场馆，屋顶选用何种结构为好?

1，2，5，12，29，()

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

汉朝已经有比较完备的诉讼制度了，其中公诉称之为

甲有一子乙，一女丙，乙有一子丁，丙有一女戍。乙先于甲死亡，甲生前主要由乙妻戊照顾，甲死亡时，无权继承甲遗产的是()

负责数据库中查询操作的数据库语言是

Asourbosswasawayonabusinesstrip,Iwasaskedto_______theweeklystaffmeeting.

Departmentstoresarelargeretailstoressellingmanydifferentkindsofmerchandise【B1】______inseparatedepartments.Suchst

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求曲线x2＋z2＝10，y2＋z2＝10在点(1，1，3)处的切线和法平面方程．

将函数分别展开成正弦级数和余弦级数．

设f(x)在[a，b]上可积，又，证明φ(x)是[a，b]上的连续函数．

利用格林公式，计算下列第二类曲线积分：

设u＝f(x，z)，而z＝z(x，y)是由方程z＝x＋yψ(z)所确定的隐函数，其中f有连续偏导数，而ψ有连续导数，求du．

求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d2y／dx2．设f〞(t)存在且不为零．

设水以常速(即单位时间注入的水的体积为常数)注入图2．7所示的罐中，直至将水罐注满．画出水位高度随时问变化的函数y＝y(t)的图形(不要求精确图形，但应画出曲线的凹凸方向并表示出拐点)．

求常数a、b、c的值，使函数f(x，y，z)＝axy2＋byz＋cx3z2在点(1，－1)处沿z轴正方向的方向导数成为各方向的方向导数中的最大者，且此最大值为6

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