设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2016-10-20 73

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k-1α≠0．
证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案(1)(定义法，同乘) 设有常数l₁，l₂，…，l_k，使得 l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k-1α=0，用A^k-1左乘上式，得A^k-1(l₁α+l₂Aa+…+l_kA^k-1α)=0．由A^kα=0，知A^k+1α=A^k+2α=…=0，从而有l₁A^k-1α=0．因为A^k-1α≠0，所以l₁=0．类似l₂=l₃=…=l_k=0，故向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关． (2)(友证法) 如α，Aα，A²α，…，A^k-1α线性相关，则存在不全为0的数l₁，l₂，…，l_k，使 l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k-1α=0．设l₁，l₂，…，l_k中第一个不为0的数是l_i，则 l_iA^i-1α+l_i+1Aⁱα+…+l_kA^k-1α=0．用A^k-i左乘上式，利用A^kα=A^k+1α=…=0，得l_iA^k-1α=0．由于l_i≠0，得A^k-1α=0，与已知矛盾．

解析

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考研数学三

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设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

考研数学三

[*]

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已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：(1)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?(2)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?

若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，其中a＜x1＜x2＜x3＜b，证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．

求下列三重积分

按两种不同次序化二重积分为二次积分，其中D为：(1)由直线y＝x及抛物线y2＝4x所围成的闭区域；(2)由y＝0及y＝sinx(0≤x≤π)所围成的闭区域；(3)由直线y＝x，x＝2及双曲线y＝1／x(x＞0)所围成的闭区域；(4)由(x－1)2＋

设u＝f(x，z)，而z＝z(x，y)是由方程z＝x＋yψ(z)所确定的隐函数，其中f有连续偏导数，而ψ有连续导数，求du．

(1)第一类曲线积分的积分弧L是_的(定向、不定向)；利用L的参数方程将这个积分化为定积分时，下限α必须上限β．(2)第二类曲线积分的积分弧L是____的(定向、不定向)；利用L的参数方程将这个积分

求下列曲线在指定点处的曲率及曲率半径：(1)椭圆2x2＋y2＝1在点(0，1)处；(2)抛物线y＝x2－4x＋3在顶点处；(3)悬链线y＝acoshx／a(a＞0)，在点(x。，y。)处；(4)摆线在对应t＝π／2的点处；(5)阿基米德螺线ρ＝a

A．内痔B．肛瘘C．肛裂D．直肠癌直肠指诊可有剧烈疼痛的是

A．卵鞘B．贝壳C．雌虫干燥体D．干燥内壳E．背甲石决明的药用部位是

闭合性肾损伤患者须卧床

牙髓和牙周膜中均含有()

图示简支梁的弯矩图正确的是()。

当荷花浮出水面，亭亭玉立于这个世间的时候，那些曾经生活在淤泥与黑暗中的生活细节就_了，曾经付出在无数个日日夜夜的心血与汗水都化作了一缕甜蜜的回忆与_的智慧。填入画横线部分最恰当的一项是：

人们常说“有一千个读者，就有一千个哈姆雷特”，谈谈你对这句话的认识

(61)是最安全的传输介质。

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0． 证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

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求下列三重积分

按两种不同次序化二重积分为二次积分，其中D为：(1)由直线y＝x及抛物线y2＝4x所围成的闭区域；(2)由y＝0及y＝sinx(0≤x≤π)所围成的闭区域；(3)由直线y＝x，x＝2及双曲线y＝1／x(x＞0)所围成的闭区域；(4)由(x－1)2＋

设u＝f(x，z)，而z＝z(x，y)是由方程z＝x＋yψ(z)所确定的隐函数，其中f有连续偏导数，而ψ有连续导数，求du．

(1)第一类曲线积分的积分弧L是_________的(定向、不定向)；利用L的参数方程将这个积分化为定积分时，下限α必须____________上限β．(2)第二类曲线积分的积分弧L是____________的(定向、不定向)；利用L的参数方程将这个积分

求下列曲线在指定点处的曲率及曲率半径：(1)椭圆2x2＋y2＝1在点(0，1)处；(2)抛物线y＝x2－4x＋3在顶点处；(3)悬链线y＝acoshx／a(a＞0)，在点(x。，y。)处；(4)摆线在对应t＝π／2的点处；(5)阿基米德螺线ρ＝a

A．内痔B．肛瘘C．肛裂D．直肠癌直肠指诊可有剧烈疼痛的是

A．卵鞘B．贝壳C．雌虫干燥体D．干燥内壳E．背甲石决明的药用部位是

闭合性肾损伤患者须卧床

牙髓和牙周膜中均含有()

图示简支梁的弯矩图正确的是()。

当荷花浮出水面，亭亭玉立于这个世间的时候，那些曾经生活在淤泥与黑暗中的生活细节就_______了，曾经付出在无数个日日夜夜的心血与汗水都化作了一缕甜蜜的回忆与_______的智慧。填入画横线部分最恰当的一项是：

人们常说“有一千个读者，就有一千个哈姆雷特”，谈谈你对这句话的认识

(61)是最安全的传输介质。

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

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当荷花浮出水面，亭亭玉立于这个世间的时候，那些曾经生活在淤泥与黑暗中的生活细节就_了，曾经付出在无数个日日夜夜的心血与汗水都化作了一缕甜蜜的回忆与_的智慧。填入画横线部分最恰当的一项是：