设A为m×n矩阵。证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m。

admin2015-09-14 61

问题设A为m×n矩阵。证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m。

选项

答案必要性：由必要性假定，对ε_i=(0，…，0，1，0，…，0)^T(第j个分量为1，其余分量均为零)，方程组Ax=ε_j有解c_j，即Ac_j=ε_j(j=1，2，…，m)，故有[Ac₁ Ac₂…Ac_m]=[ε₁ ε₂…ε_m]=E_m，记矩阵c=[c₁ c₂…c_m]，则有Ac=E_m，故有m—r(E_m)=r(Ac)≤r(A)≤m，[*]r(A)=m；充分性：若r(A)=m，则A的行向量组线性无关，故增广矩阵[*]由有解判定定理知方程组Ax=6有解，其中b为任意m维列向量。

解析

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考研数学三

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