2. 专升本
  3. 设函数φ(x)满足φ(x)=ex+(t一x)φ(t)dt，求φ(x)．

设函数φ(x)满足φ(x)=ex+(t一x)φ(t)dt，求φ(x)．

admin2016-03-02  53
问题 设函数φ(x)满足φ(x)=ex+(t一x)φ(t)dt，求φ(x)．
选项
答案φ(x)=ex＋[*]φ(t)dt (I) 在(I)式两边同时对x求导得φ′(x)=ex－[*]φ(t)dt (Ⅱ) 在(Ⅱ)式两边同时对x求导得φ″(x)=ex－φ(x)， 即φ″(x)+φ(x)=x． 下求微分方程y″+y=ex满足初始条件y(0)=1，y′(0)=1的特解． 特征方程r2+1=0，特征根为r1=i，r2＝－i 所以y″+y=0的通解为C1cosx+C2sinx 又因λ=1不是特征方程的根，所以取k=0 所以y″+y=ex的特解形式可设为y*=aex，且(y*)′=aex，(y*)″=aex， 把(y*)″=aex和y*)=aex代入y″+y=ex中可解得a=[*] 所以y*=[*]ex，所以y″+y=ex的通解为y=C1cosx+C2sinx+[*]ex 又因y(0)=1，y′(0)=1，且y′=－C1sinx+C2cosx＋[*]ex 所以解得C1=C2=[*] 故微分方程y″+y=ex满足初始条件y(0)=1，y′(0)=1的特解为 y=[*](sinx+cosx+ex)，即φ(x)=[*](sinx+cosx+ex)．
解析
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