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设函数φ(x)满足φ(x)=ex+(t一x)φ(t)dt,求φ(x).
设函数φ(x)满足φ(x)=ex+(t一x)φ(t)dt,求φ(x).
admin
2016-03-02
53
问题
设函数φ(x)满足φ(x)=e
x
+
(t一x)φ(t)dt,求φ(x).
选项
答案
φ(x)=e
x
+[*]φ(t)dt (I) 在(I)式两边同时对x求导得φ′(x)=e
x
-[*]φ(t)dt (Ⅱ) 在(Ⅱ)式两边同时对x求导得φ″(x)=e
x
-φ(x), 即φ″(x)+φ(x)=
x
. 下求微分方程y″+y=e
x
满足初始条件y(0)=1,y′(0)=1的特解. 特征方程r
2
+1=0,特征根为r
1
=i,r
2
=-i 所以y″+y=0的通解为C
1
cosx+C
2
sinx 又因λ=1不是特征方程的根,所以取k=0 所以y″+y=e
x
的特解形式可设为y
*
=ae
x
,且(y
*
)′=ae
x
,(y
*
)″=ae
x
, 把(y
*
)″=ae
x
和y
*
)=ae
x
代入y″+y=e
x
中可解得a=[*] 所以y
*
=[*]e
x
,所以y″+y=e
x
的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx+[*]e
x
又因y(0)=1,y′(0)=1,且y′=-C
1
sinx+C
2
cosx+[*]e
x
所以解得C
1
=C
2
=[*] 故微分方程y″+y=e
x
满足初始条件y(0)=1,y′(0)=1的特解为 y=[*](sinx+cosx+e
x
),即φ(x)=[*](sinx+cosx+e
x
).
解析
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数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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