设函数φ(x)满足φ(x)=ex+(t一x)φ(t)dt，求φ(x)．

admin2016-03-02 44

问题设函数φ(x)满足φ(x)=e^x+

(t一x)φ(t)dt，求φ(x)．

选项

答案φ(x)=e^x＋[*]φ(t)dt (I) 在(I)式两边同时对x求导得φ′(x)=e^x－[*]φ(t)dt (Ⅱ) 在(Ⅱ)式两边同时对x求导得φ″(x)=e^x－φ(x)，即φ″(x)+φ(x)=^x．下求微分方程y″+y=e^x满足初始条件y(0)=1，y′(0)=1的特解．特征方程r²+1=0，特征根为r₁=i，r₂＝－i 所以y″+y=0的通解为C₁cosx+C₂sinx 又因λ=1不是特征方程的根，所以取k=0 所以y″+y=e^x的特解形式可设为y^*=ae^x，且(y^*)′=ae^x，(y^*)″=ae^x，把(y^*)″=ae^x和y^*)=ae^x代入y″+y=e^x中可解得a=[*] 所以y^*=[*]e^x，所以y″+y=e^x的通解为y=C₁cosx+C₂sinx+[*]e^x 又因y(0)=1，y′(0)=1，且y′=－C₁sinx+C₂cosx＋[*]e^x 所以解得C₁=C₂=[*] 故微分方程y″+y=e^x满足初始条件y(0)=1，y′(0)=1的特解为 y=[*](sinx+cosx+e^x)，即φ(x)=[*](sinx+cosx+e^x)．

解析

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