(2016年)设函数f(x)连续，且满足∫0xf(x—t)dt=∫0x(x—t)f(t)dt+e-x一1，求f(x)。

admin2021-01-25 80

问题 (2016年)设函数f(x)连续，且满足∫₀^xf(x—t)dt=∫₀^x(x—t)f(t)dt+e^-x一1，求f(x)。

选项

答案∫₀^xf(x—t)dt作变量替换u=x-t，则 ∫₀^xf(x—t)dt=∫_x⁰f(u)(一du)=∫₀^xf(u)du，代入方程可得 ∫₀^xf(u)du=x∫₀^xf(t)dt一∫₀^xtf(t)dt+e^-x一1。两边同时求导数可得 f(x)=∫₀^xf(t)dt—e^-x (1) 由于f(x)连续，可知∫₀^xf(t)dt可导，从而f(x)也可导，故对上式两边再求导可得 f’(x)=f(x)+e^-x，由(1)式两边令x=0可得f(0)=一1，解微分方程可得 [*]

解析

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