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(2016年)设函数f(x)连续,且满足∫0xf(x—t)dt=∫0x(x—t)f(t)dt+e-x一1,求f(x)。
(2016年)设函数f(x)连续,且满足∫0xf(x—t)dt=∫0x(x—t)f(t)dt+e-x一1,求f(x)。
admin
2021-01-25
32
问题
(2016年)设函数f(x)连续,且满足∫
0
x
f(x—t)dt=∫
0
x
(x—t)f(t)dt+e
-x
一1,求f(x)。
选项
答案
∫
0
x
f(x—t)dt作变量替换u=x-t,则 ∫
0
x
f(x—t)dt=∫
x
0
f(u)(一du)=∫
0
x
f(u)du,代入方程可得 ∫
0
x
f(u)du=x∫
0
x
f(t)dt一∫
0
x
tf(t)dt+e
-x
一1。 两边同时求导数可得 f(x)=∫
0
x
f(t)dt—e
-x
(1) 由于f(x)连续,可知∫
0
x
f(t)dt可导,从而f(x)也可导,故对上式两边再求导可得 f’(x)=f(x)+e
-x
, 由(1)式两边令x=0可得f(0)=一1,解微分方程可得 [*]
解析
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0
考研数学三
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