2. 考研
  3. 已知A=[α1,α2,α3,α4]T是四阶矩阵，α1,α2,α3,α4是四维列向量．若方程组Ax=β的通解是[1，2，2，1]T+k[1，一2，4，0]T，又B=[α3，α2，α1，β一α4]，求方程组Bx=α1一α2的通解．

已知A=[α1,α2,α3,α4]T是四阶矩阵，α1,α2,α3,α4是四维列向量．若方程组Ax=β的通解是[1，2，2，1]T+k[1，一2，4，0]T，又B=[α3，α2，α1，β一α4]，求方程组Bx=α1一α2的通解．

admin2016-12-09  13
问题 已知A=[α1,α2,α3,α4]T是四阶矩阵，α1,α2,α3,α4是四维列向量．若方程组Ax=β的通解是[1，2，2，1]T+k[1，一2，4，0]T，又B=[α3，α2，α1，β一α4]，求方程组Bx=α1一α2的通解．
选项
答案由方程组Ax=β的解的结构，可知秩(A)=秩(α1,α2,α3,α4)=3，且 α1+2α2+2α3+α4=β，α1－2α2+4α3=0，故α1,α2,α3线性相关． 因为 B=[α3，α2，α1，β一α4]=[α3，α2，α1，α1+2α2+2α3]，且α1,α2,α3线性相关，故秩(B)=2，所以Bx=0的一个基础解系只含n一秩(B)=4—2=2个解向量．由[*]知，[0，一1，1，0]T是方程组Bx=α1－α2的一个解． 又由[*] 可知[4，一2，1，0]T，[2，一4，0，1]T是Bx=0的两个线性无关的解，故Bx=α1一α2的通解为[0，一1，1，0]T+k1[4，一2，1，0]T+k2[2，一4，0，1]T．其中k1，k2为任意常数．
解析
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考研数学二

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