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设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1).证明:存在ξ∈(0,1),使得 f(x)dx=f(0)+f(1)+(ξ).
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1).证明:存在ξ∈(0,1),使得 f(x)dx=f(0)+f(1)+(ξ).
admin
2016-03-26
33
问题
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1).证明:存在ξ∈(0,1),使得
f(x)dx=f(0)+f(1)+
(ξ).
选项
答案
令F(x)=[*]f(t)dt,则F(x)三阶连续可导且F’(x)=f(x),由泰勒公式得 [*] 两式相减得F(1)一F(0)=[*], 即[*] 因为[*](x)∈C[ξ
1
,ξ
2
],所以[*]上取到最大值M和最小值m, 于是[*], 由介值定理,存在[*], 故有[*].
解析
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考研数学三
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