设函数f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(0)=f(1)=0，又F(x)=x2f(x)，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使F"(ξ)=0．

admin2016-04-26 0

问题设函数f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(0)=f(1)=0，又F(x)=x²f(x)，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使F"(ξ)=0．

选项

答案由条件知，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，并且F(0)=F(1)=0，由罗尔定理知，至少存在一点η∈(0，1)，使F’(η)=0．又 F’(x)=2xf(x)+x²f’(x)，由于f(x)在[0，1]上有二阶导数，所以F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且 F’(0)=F’(η)=0．由罗尔定理知，至少有一点ξ∈(0，η)[*](0，1)，使F"(ξ)=0．

解析

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