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  3. 求曲线y=lnx的过原点的切线方程．

求曲线y=lnx的过原点的切线方程．

admin2022-06-08  27
问题 求曲线y=lnx的过原点的切线方程．
选项
答案由于原点(0，0)不在曲线y=lnx上，可设切点M0坐标为(x0，y0)，则y0=lnx0．由导数的几何意义，过M0点的切线斜率k=f’(x0)－1／x0． 因此可设切线方程为 y－y0=1／x0(x－x0)， 即 y－y0=[*]x－1． 由于切线过原点(0，0)，因此 0－y0=[*]－1，得y0=1． 又切点(x0，y0)在曲线y=lnx上，因此y0=lnx0，可知x0=e．故所求切线方程为 y－1=[*]x－1． 即 y=x／e．
解析 如果点(x0，y0)在曲线y=f(x)上，即y0=f(x0)，斜率f’(x0)存在，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为
y－f(x0)=f’(x0)(x－x0)．
当f’(x0)≠0时，曲线在点(x0，f(x0))处的法线方程为
y－f(x0)=－(x－x0)．
如果点(x0，y0)不在曲线y=f(x)上，求曲线过点(x0，y0)处的切线方程时，即先设切点为(m，n)，写出切线方程，求出满足给定题设条件的切点坐标．
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