2. 考研
  3. （2011年真题）一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为1，母线长为3，将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出，当容器中剩下的水为原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角等于[ ]。

（2011年真题）一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为1，母线长为3，将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出，当容器中剩下的水为原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角等于[ ]。

admin2015-04-14  67
问题 （2011年真题）一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为1，母线长为3，将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出，当容器中剩下的水为原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角等于[     ]。
选项 A、75°
B、60°
C、45°
D、30°
答案C
解析 本题主要考查了圆柱体的体积及特殊三角形。
解法1

如图3．36所示，假想倾斜圆柱形容器使线段AC与水平的桌面平行，则显然流出的水为原来容器内水的一半，受此启发，可先找出当圆柱形容器直立放置时，总容积处所对应的位置，即EF直线处(高为1的位置)，则EF直线以上部分的容积为总容积的，将容器倾斜使线段AE与水平的桌面平行，则流出的水为EF直线以上部分的容积的一半，即容器中剩下的水为原来的，这时由替设知EF=2，而AF=2，△AEF为直角三角形，所以∠EAF=45°。故正确选项为C。
解法2
如图3．36所示，问题可以转化为一个斜截圆柱体的问题，图中的矩形ABCD是此斜截圆柱体的一个轴截面。由题意，斜截圆柱体的平均高度是2，其最高的高度是3，所以其最低高度为1。由于AF=EF=2，且AF⊥EF，所以∠EAF=45°。故正确选项为C。
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