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设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且f’(x)一f(x)+=0,求∫[f’’(x)-f’(x)]e-xdx.
设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且f’(x)一f(x)+=0,求∫[f’’(x)-f’(x)]e-xdx.
admin
2017-05-31
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问题
设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且f’(x)一f(x)+
=0,求∫[f’’(x)-f’(x)]e
-x
dx.
选项
答案
由题设知,f’(x)—f(x)+[*]∫
0
x
f(t)dt=0,并且f’(0)=f(0)=1.于是,有(1+x)f’(z)一(1+x)f(z)+∫
0
x
f(t)dt=0. 两边对x求导得 f’(x)_+(1+x)f’’(x)一f(x)一(1+x)f’(x)+f(x)=0. 即(1+x)f’’(x)一xf’(x)=0. 令f’(x)=p,则有(1+x)p’一xp=0.分离变量得[*],即 [*] 由f’(0)=1,得c=1.代入上式,[*]故 ∫[f’’(x)一f’(x)]e
-x
dx=∫f’’(x)e
-x
dx—∫f’(x)e
-x
dx =f’(x)e
-x
+∫f’(x)e
-x
dx一∫f’(x)e
-x
dx =f’(x)e
-x
+c=[*].
解析
∫[f’’(x)一f’(x)-]e
-x
dx=∫f’’(x)e
-x
dx—∫f’(x)e
-x
dx=f’(x)e
-x
+∫f’(x)e
-x
dx—∫f’(x)e
-x
dx=f’(x)e
-x
+c.
计算该积分的关键是求f’(x).
含有抽象函数导数的积分,一般用分部积分法.
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考研数学一
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