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已知4维列向量组α1,α2,α3线性无关,若非零向量βi(i=1,2,3,4)与α1,α2,α3均正交,则R(β1,β2,β3,β4)=( )
已知4维列向量组α1,α2,α3线性无关,若非零向量βi(i=1,2,3,4)与α1,α2,α3均正交,则R(β1,β2,β3,β4)=( )
admin
2020-03-01
39
问题
已知4维列向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,若非零向量β
i
(i=1,2,3,4)与α
1
,α
2
,α
3
均正交,则R(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
)=( )
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
A
解析
设α
1
=(a
11
,a
12
,a
13
,a
14
)
T
,α
2
=(a
21
,a
22
,a
23
,a
24
)
T
,α
3
=(a
31
,a
32
,a
33
,a
34
)
T
。
由题设知,β
i
与α
1
,α
2
,α
3
均正交,即内积β
i
T
α
j
=0(i=1,2,3,4;j=1,2,3),
亦即β
i
(i=1,2,3,4)是齐次方程组
的非零解。
由于α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故系数矩阵的秩为3。所以基础解系中含有4—3=1个解向量。从而R(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
)=1,故选A。
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