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设三阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值.若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,l )T,α3=(-1,2,-3)T。都是A的属于特征值6的特征向量. 求A的另一特征值和对应的特征向量;
设三阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值.若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,l )T,α3=(-1,2,-3)T。都是A的属于特征值6的特征向量. 求A的另一特征值和对应的特征向量;
admin
2013-03-29
48
问题
设三阶实对称矩阵A的秩为2,λ
1
=λ
2
=6是A的二重特征值.若α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(2,1,l )
T
,α
3
=(-1,2,-3)
T
。都是A的属于特征值6的特征向量.
求A的另一特征值和对应的特征向量;
选项
答案
由秩r(A)=2,知丨A丨=0,所以λ=0是A的另一特征值. 因为λ
1
=λ
2
=6是实对称矩阵A的二重特征值,故A的属于特征值λ=6的线性无关的特征向量 有2个,因此α
1
,α
2
,α
3
必线性相关,而α
1
,α
2
是A的属于特征值λ=6的线性无关的特征向量. 设λ=0所对应的特衙向量为α=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交, α
1
T
α=x
1
+x
2
=0, α
2
T
α=2x
1
+x
2
+x
3
=0, 解此方程组得基础解系α=(-1,1,1)
T
,那么矩阵A属于特征值λ=0的特征向量为k(-1.1,1)
T
,k是不为零的任意常数.
解析
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考研数学三
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