设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度fV(v)．

admin2016-10-20 61

问题设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：
(Ⅰ)U=XY的概率密度f_U(u)； (Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度f_V(v)．

选项

答案由于X与Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出U、V的概率密度． (Ⅰ)分布函数法．由题设知(X，Y)联合概率密度 [*] 所以U=xY的分布函数为(如图3．3) [*] 当u≤0时，F_U(u)=0；当u≥1时，F_U(u)=1；当0＜u＜1时， [*] (Ⅱ)分布函数法．由题设知 [*] 所以V=｜X-Y｜的分布函数F_V(v)=P{｜X-Y｜≤v}．当v≤0时，F_V(v)=0；当v＞0时， F_V(v)=P{｜X-Y｜≤v}=P{-v≤X-Y≤v} [*] 由图3．4知，当v≥l时，F_V(v)=1；当0＜v＜1时， [*] 其中 D={(x，y)：0≤x≤1，0≤y≤1，｜x-y｜≤v}．综上得[*]

解析

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考研数学三

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设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度fV(v)．

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[*]

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