2. 考研
  3. 设f(χ)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． (1)写出f(χ)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式。 (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[－a，a]，使得

设f(χ)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． (1)写出f(χ)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式。 (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[－a，a]，使得

admin2017-09-15  65
问题 设f(χ)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．
    (1)写出f(χ)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式。
    (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[－a，a]，使得
选项
答案(1)由[*]存在，得f(0)＝0，f′(0)＝0，f〞(0)＝0， 则f(χ)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(χ)＝[*]其中ξ介于0与χ之间． (2)上式两边积分得 [*] 因为f(4)(χ)在[－a，a]上为连续函数，所以f(4)(χ)在[－a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mχ4≤f(4)(ξ)χ4≤Mχ4， 两边在[－a，a]上积分得 [*] 根据介值定理，存在ξ1∈[－a，a]，使得f(4)(ξ1)＝[*]f(χ)dχ，或a5f(4)(ξ1)＝60∫-aaf(χ)dχ． 再由积分中值定理，存在ξ2∈[－a，a]，使得 a5f(4)(ξ1)＝60∫-aaf(χ)dχ＝120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)＝120f(ξ2)．
解析
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考研数学二

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