一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线绕y轴的旋转面，容器的外高为10，比重为。把它铅直地浮在水中，再注入比重为3的溶液。问欲保持容器不沉没，注入液体的最大深度是多少?(长度单位为厘米)

admin2016-02-27 70

问题一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线

绕y轴的旋转面，容器的外高为10，比重为

。把它铅直地浮在水中，再注入比重为3的溶液。问欲保持容器不沉没，注入液体的最大深度是多少?(长度单位为厘米)

选项

答案容器体积 V=π∫₀¹⁰10ydy=500π，容器的容积是由抛物线[*](1≤y≤10)绕y轴旋转一周所得立体的体积，即 V₁=π∫₁¹⁰10(y-1)dy=405π，所以容器重量为[*]。设注入液体的最大深度为h，则注入液体的重量为3π∫₁^h+110(y-1)dy=15πh²。此时排开水的体积恰好是容器的体积500π，而水的比重为1，所以有[*]+15πh²=500π，解得h=5。

解析

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考研数学二

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