设三阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(—1,2,—3)T都是A属于λ=6的特征向量,求矩阵A。

admin2017-01-21  46

问题 设三阶实对称矩阵A的秩为2,λ12=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(—1,2,—3)T都是A属于λ=6的特征向量,求矩阵A。

选项

答案由r(A)=2知,|A|=0,所以λ=0是A的另一特征值。 因为λ12=6是实对称矩阵的二重特征值,故A属于λ=6的线性无关的特征向量有两个,因此α1,α2,α3必线性相关,显然α1,α2线性无关。 设矩阵A属于λ=0的特征向量α=(x1,x2,x3T,由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故有 [*] 解得此方程组的基础解系a=(—1,1,1)T。 根据A(α1,α2,α)=(6α1,6α2,0)得 A=(6α1,6α2,0)(α1,α2,α)—1 [*]

解析
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