设f(χ)为偶函数,且满足f′(χ)+2f(χ)=3∫0χf(t-χ)dt=-3χ+2,求f(χ).

admin2017-09-15  33

问题 设f(χ)为偶函数,且满足f′(χ)+2f(χ)=3∫0χf(t-χ)dt=-3χ+2,求f(χ).

选项

答案0χf(t-χ)dt=-∫0χ(t-χ)d(χ-t)=-∫χ0f(-u)du=∫0χf(u)du, 则有f′(χ)+2f(χ)-3∫0χf(u)du=-3χ+2,因为f(χ)为偶函数,所以f′(χ)是奇函数, 于是f′(0)=0,代入上式得f(0)=1. 将f′(χ)+2f(χ)-3∫0χf(u)du=-3χ+2两边对χ求导数得 f〞(χ)+2f′(χ)-3f(χ)=-3, 其通解为f(χ)=C1eχ+C2e-3χ+1,将初始条件代入得f(χ)=1.

解析
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