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设f(χ)为偶函数,且满足f′(χ)+2f(χ)=3∫0χf(t-χ)dt=-3χ+2,求f(χ).
设f(χ)为偶函数,且满足f′(χ)+2f(χ)=3∫0χf(t-χ)dt=-3χ+2,求f(χ).
admin
2017-09-15
33
问题
设f(χ)为偶函数,且满足f′(χ)+2f(χ)=3∫
0
χ
f(t-χ)dt=-3χ+2,求f(χ).
选项
答案
∫
0
χ
f(t-χ)dt=-∫
0
χ
(t-χ)d(χ-t)=-∫
χ
0
f(-u)du=∫
0
χ
f(u)du, 则有f′(χ)+2f(χ)-3∫
0
χ
f(u)du=-3χ+2,因为f(χ)为偶函数,所以f′(χ)是奇函数, 于是f′(0)=0,代入上式得f(0)=1. 将f′(χ)+2f(χ)-3∫
0
χ
f(u)du=-3χ+2两边对χ求导数得 f〞(χ)+2f′(χ)-3f(χ)=-3, 其通解为f(χ)=C
1
e
χ
+C
2
e
-3χ
+1,将初始条件代入得f(χ)=1.
解析
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0
考研数学二
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