设f(χ)为偶函数，且满足f′(χ)＋2f(χ)＝3∫0χf(t－χ)dt＝－3χ＋2，求f(χ)．

admin2017-09-15 72

问题设f(χ)为偶函数，且满足f′(χ)＋2f(χ)＝3∫₀^χf(t－χ)dt＝－3χ＋2，求f(χ)．

选项

答案∫₀^χf(t－χ)dt＝－∫₀^χ(t－χ)d(χ－t)＝－∫_χ⁰f(－u)du＝∫₀^χf(u)du，则有f′(χ)＋2f(χ)－3∫₀^χf(u)du＝－3χ＋2，因为f(χ)为偶函数，所以f′(χ)是奇函数，于是f′(0)＝0，代入上式得f(0)＝1．将f′(χ)＋2f(χ)－3∫₀^χf(u)du＝－3χ＋2两边对χ求导数得 f〞(χ)＋2f′(χ)－3f(χ)＝－3，其通解为f(χ)＝C₁e^χ＋C₂e^－3χ＋1，将初始条件代入得f(χ)＝1．

解析

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