设三维空间中椭圆 (1)证明的中心为原点，并求的长轴和短轴的长度。 (2)证明：任给一个椭圆，存在参数R和k，使得与给定椭圆全等。

admin2015-03-21 73

问题设三维空间中椭圆

(1)证明

的中心为原点，并求

的长轴和短轴的长度。
(2)证明：任给一个椭圆，存在参数R和k，使得

与给定椭圆全等。

选项

答案证明：(1)由已知得，椭圆[*]为圆柱x²+y²=R²与z=kx平面相截所得，因为圆柱x²+y²=R²与的中心为原点，z=kx平面的中心为原点。故的中心为原点。椭圆[*]的交点为椭圆的两个端点(R，0，kR)，(—R，0，—kR)，因为椭圆的长轴与短轴相互垂直，则另两个端点为椭圆与直线[*]。当｜k｜≥1时长轴长为[*]，短轴长为[*]。 (2)在z=kx上以直线为[*]纵轴n建立直角坐标系，可得[*]的平面方程为[*]与R无关，故对任意给定的一个椭圆其两轴长分别为a，b均可找到参数k，R使得a²=R²(1+k²)，[*]。即证。

解析

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设三维空间中椭圆 (1)证明的中心为原点，并求的长轴和短轴的长度。 (2)证明：任给一个椭圆，存在参数R和k，使得与给定椭圆全等。

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