设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aβ1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

admin2015-06-26 83

问题设A为n阶矩阵，α₁，α₂，α₃为n维列向量，其中α₁≠0，且Aβ₁=α₁，Aα₂=α₁+α₂，Aα₃=α₂+α₃，证明：α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案由Aα₁=α₁得(A—E)α₁=0；由Aα₂=α₁+α₂得(A—E)α₂=α₁；由Aα₃=α₂+α₃得(A—E)α₃=α₂，令 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， (1) (1)两边左乘A—E得 k₂α₁+k₃α₂=0， (2) (2)两边左乘A—E得k₃α₁=0，因为α₁≠0，所以k₃=0，代入式(2)、式(1)得k₁=0，k₂=0，故α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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