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设f(x)在[a,b]上有界,{an}[a,b],an=c.证明:若f(x)在[a,b]上只有an(n=1,2,…)为其间断点,则f(x)在[a,b]上可积.
设f(x)在[a,b]上有界,{an}[a,b],an=c.证明:若f(x)在[a,b]上只有an(n=1,2,…)为其间断点,则f(x)在[a,b]上可积.
admin
2022-11-23
21
问题
设f(x)在[a,b]上有界,{a
n
}
[a,b],
a
n
=c.证明:若f(x)在[a,b]上只有a
n
(n=1,2,…)为其间断点,则f(x)在[a,b]上可积.
选项
答案
不妨设[*]a
n
=c=a,f(x)在[a,b]上的振幅为ω.对[*]ε>0,取0<δ<ε/2ω,因[*]a
n
=a,所以存在N,当n>N时,a
n
∈[a,a+δ],从而f(x)在[a+δ,b]上至多只有有限个间断点,从而f(x)在[a+δ,b]上可积,因此,存在[a+δ,b]上的分割T
*
,使[*],把[a,a+δ]与T
*
合并,就构成了[a,b]的一个分割T,则 [*] 其中ω
0
为f(x)在[a,a+δ]上的振幅.故由可积的充要条件知,f(x)在[a,b]上可积.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6egD777K
0
考研数学一
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