已知数列{an}满足a1=3，an+1=an+2n， (1)求{an}的通项公式an； (2)若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn。

admin2017-12-18 9

问题已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n+2ⁿ，
(1)求{a_n}的通项公式a_n；
(2)若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n。

选项

答案(1)由题意知： a₂-a₁=2¹ a₃-a₂=2² a₄-a₃=2³ … a_n-a_n-1=2^n-1 将上式左右两边分别相加起来得： a_n一a₁=(2¹+2²+2³+…+2^n-1)=2ⁿ-2， ∴a_n=2+a₁=2ⁿ+1。 (2)b_n=na_n=(2ⁿ+1)n=n2ⁿ+n， S_n=1．2¹+2．2²+3．2³+…+n．2ⁿ(1+2+3+…+n)=1．2¹+2．2²+3.2³+…+n.2ⁿ+[*]，令T_n=1.2¹+2.2²+3.2³+…+n.2ⁿ，则2T_n=1.2²+2.2³+3.2⁴+…+n.2ⁿ⁺¹，利用错位相减可得T_n(n一1)2ⁿ⁺¹+2，所以S_n=(n一1)2ⁿ⁺¹+2+[*]。

解析

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