∫－ππ[x2+∫0xet2sin3tdt]xcos2xdx=_________。

admin2017-11-30 13

问题 ∫_－π^π[x²+∫₀^xe^t²sin³tdt]xcos²xdx=_________。

选项

答案0

解析由积分的性质
∫_－π^π(x²+∫₀^xe^t²sin³tdt)xcos²xdx=∫_－π^π[x³cos²x+(xcos²x∫₀^xe^t²sin³tdt)]dx，
因为x³cos²x是奇函数，积分为零，可进一步化为
∫_－π^π(xcos²x∫₀^xe^t²sin³tdt)dx，
对于积分∫₀^xe^t²sin³tdt，由于e^t²sin³t为奇函数，则∫₀^xe^t²sin³tdt为偶函数，则xcos²x∫₀^xe^t²sin³tdt
是奇函数，所以
∫_－π^π(xcos²xe^t²sin³tdt)dx=0，
那么
∫_－π^π(x²+∫₀^xe^t²sin³tdt)xcos²xdx=0。

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