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如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=,-条准线的方程为x=2√2. 设动点P满足:,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与0N的斜率之积为-,问:是否存在两个定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求F1,F2的坐标;若不存在,说明理由.
如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=,-条准线的方程为x=2√2. 设动点P满足:,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与0N的斜率之积为-,问:是否存在两个定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求F1,F2的坐标;若不存在,说明理由.
admin
2019-06-01
65
问题
如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=
,-条准线的方程为x=2√2.
设动点P满足:
,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与0N的斜率之积为-
,问:是否存在两个定点F
1
,F
2
,使得|PF
1
|+|PF
2
|为定值?若存在,求F
1
,F
2
的坐标;若不存在,说明理由.
选项
答案
设P(x,y),M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),则由[*]得 (x,y)=(x
1
,y
1
)+2(x
2
,y
2
)=(x
1
+2x
2
,y
1
+2y
2
),即x=x
1
+2x
2
,y=y
1
+2y
2
. 因为点M、N在椭圆x
2
+2y
2
=4上,所以x
1
2
+2y
1
2
=4,x
2
2
+2y
2
2
=4, 故x
2
+2y
2
=(x
1
2
+4x
2
2
+4x
1
x
2
)+2(y
1
2
+4y
2
2
+4y
1
y
2
) =(x
1
2
+2y
1
2
)+4(x
2
2
+2y
2
2
)+4(x
1
x
2
+2y
1
y
2
) =20+4(x
1
x
2
+2y
1
y
2
). 设k
OM
,k
ON
分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知 k
OM
·k
ON
=[*],因此x
1
x
2
+2y
1
y
2
=0,所以x
2
+2y
2
=20. 所以P点是椭圆[*]=1上的点,设该椭圆的左、右焦点为F
1
,F
2
,则由椭圆的定义 |PF
1
|+|PF
2
|为定值,又因为c=[*],因此两焦点的坐标为F
1
(一[*],0),F
2
([*],0).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6qFq777K
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小学数学题库教师公开招聘分类
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