2. 公务员
  3. 如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，－条准线的方程为x=2√2． 设动点P满足：，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与0N的斜率之积为－，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．

如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，－条准线的方程为x=2√2． 设动点P满足：，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与0N的斜率之积为－，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．

admin2019-06-01  64
问题 如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，－条准线的方程为x=2√2．

设动点P满足：，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与0N的斜率之积为－，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．
选项
答案设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由[*]得 (x，y)=(x1，y1)+2(x2，y2)=(x1+2x2，y1+2y2)，即x=x1+2x2，y=y1+2y2． 因为点M、N在椭圆x2+2y2=4上，所以x12+2y12=4，x22+2y22=4， 故x2+2y2=(x12+4x22+4x1x2)+2(y12+4y22+4y1y2) =(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2) =20+4(x1x2+2y1y2)． 设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 kOM·kON=[*]，因此x1x2+2y1y2=0，所以x2+2y2=20． 所以P点是椭圆[*]=1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义 |PF1|+|PF2|为定值，又因为c=[*],因此两焦点的坐标为F1(一[*]，0)，F2([*]，0)．
解析
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