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如图,F是椭圆的一个焦点,A、B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为,点C在x轴上,BC⊥BF,B、C、F三点确定的圆M恰好与直线相切. 求证:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足,并确定这样的x0的个数.
如图,F是椭圆的一个焦点,A、B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为,点C在x轴上,BC⊥BF,B、C、F三点确定的圆M恰好与直线相切. 求证:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足,并确定这样的x0的个数.
admin
2011-07-17
42
问题
如图,F是椭圆
的一个焦点,A、B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为
,点C在x轴上,BC⊥BF,B、C、F三点确定的圆M恰好与直线
相切.
求证:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足
,并确定这样的x0的个数.
选项
答案
[证明] 因为[*],所以[*] 即为[*]令[*], 从而问题转化为证明方程[*]89在(-2,t)上有解,并讨论解的个数. 因为[*](t-1),所以①当t>4或-2<t<1时,g(-2).g(t)<0, 所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且只有一解. ②当1<t<4时,g(-2)>0,g(t)>0,但由于[*],所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解. ③当t=1时,g(x)=x2-x=0[*]x=0或x=1, 所以g(x)=0在(-2,t)上有且只有一解; 当t=4时,g(x)=x2-x=0[*]x=-2或x=3, 所以g(x)=0在(-2,4)上也有且只有一解. 综上所述,对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t), 满足[*]且当t≥4或-2<t≤1时,有唯一的x0适合题意; 当1<t<4时,有两个x0适合题意. (说明:第(3)题也可以令φ(x)=x
2
-x,x∈(-2,t),然后分情况证明[*]在其值域内,并讨论直线[*]与函数φ(x)的图像的交点个数即可得到相应的x
0
的个数)
解析
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