2. 考研
  3. 设g(x)在(一∞，+∞)内连续，g(1)=1，∫01g(x)dx=，令f(x)=∫0xg(x—t)t2dt，求f"(1)，f"’(1)．

设g(x)在(一∞，+∞)内连续，g(1)=1，∫01g(x)dx=，令f(x)=∫0xg(x—t)t2dt，求f"(1)，f"’(1)．

admin2017-10-19  56
问题 设g(x)在(一∞，+∞)内连续，g(1)=1，∫01g(x)dx=，令f(x)=∫0xg(x—t)t2dt，求f"(1)，f"’(1)．
选项
答案令x—t=u，则 f(x)=∫0xg(u)(x一u)2du=x2∫0xg(u)du一2x∫0xug(u)du+∫0xg(u)u2du． 于是 f’(x)=2x∫0xg(u)du+x2g(x)一2∫0xug(u)du一2x2g(x)+x2g(x) =2x∫0xg(u)du一2∫0xug(u)du， f"(x)=2∫0xg(u)du+2xg(x)一2xg(x)=2∫0xg(u)du， f"’(x)=2g(x)， 所以，f"’(1)=2∫01g(u)du=1，f"’(1)=2g(1)=2．
解析 将含参变量积分中的参数经变换提至积分号外，可得f(x)的表达式，然后直接求f’(x)，f"(x)，f"’(x)，再求f’(1)，f"(1)，f"’(1)．
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考研数学三

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