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设g(x)在(一∞,+∞)内连续,g(1)=1,∫01g(x)dx=,令f(x)=∫0xg(x—t)t2dt,求f"(1),f"’(1).
设g(x)在(一∞,+∞)内连续,g(1)=1,∫01g(x)dx=,令f(x)=∫0xg(x—t)t2dt,求f"(1),f"’(1).
admin
2017-10-19
68
问题
设g(x)在(一∞,+∞)内连续,g(1)=1,∫
0
1
g(x)dx=
,令f(x)=∫
0
x
g(x—t)t
2
dt,求f"(1),f"’(1).
选项
答案
令x—t=u,则 f(x)=∫
0
x
g(u)(x一u)
2
du=x
2
∫
0
x
g(u)du一2x∫
0
x
ug(u)du+∫
0
x
g(u)u
2
du. 于是 f’(x)=2x∫
0
x
g(u)du+x
2
g(x)一2∫
0
x
ug(u)du一2x
2
g(x)+x
2
g(x) =2x∫
0
x
g(u)du一2∫
0
x
ug(u)du, f"(x)=2∫
0
x
g(u)du+2xg(x)一2xg(x)=2∫
0
x
g(u)du, f"’(x)=2g(x), 所以,f"’(1)=2∫
0
1
g(u)du=1,f"’(1)=2g(1)=2.
解析
将含参变量积分中的参数经变换提至积分号外,可得f(x)的表达式,然后直接求f’(x),f"(x),f"’(x),再求f’(1),f"(1),f"’(1).
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0
考研数学三
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=__________
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