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设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=cex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数a,b,c,并求该方程的通解.
设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=cex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数a,b,c,并求该方程的通解.
admin
2015-12-22
72
问题
设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=ce
x
的一个特解为y=e
2x
+(1+x)e
x
,试确定常数a,b,c,并求该方程的通解.
选项
答案
由所给特解易看出1与2为特征方程的根,故特征方程为 (r一2)(r一1)=r
2
一3r+2=0, 从而可求得b与a.易看出e
x
或xe
x
也满足方程,代入后可确定另一常数. 解 (1)由题设特解知原方程的特征根为1和2,故特征方程为 (r一1)(r一2)=0, 即r
2
一3r+2=0,于是a=一3,b=2. 为确定c,只需将y
1
=xe
x
代入方程得 (x+2)e
x
一3(x+1)e
x
+2xe
x
=ce
x
, c=一1. (2)对应齐次方程的通解为 Y=c
1
e
x
+c
2
e
2x
. 因1为一重特征根,设原方程的特解为y
*
=Axe
x
.将其代入原方程得到A=1,故原方程通解为 y=Y+y
*
=c
1
e
x
+c
2
e
2x
+xe
x
,其中c
1
,c
2
为任意常数.
解析
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考研数学二
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