2. 考研
  3. 设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=cex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=cex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

admin2015-12-22  67
问题 设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=cex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数a，b，c，并求该方程的通解．
选项
答案由所给特解易看出1与2为特征方程的根，故特征方程为 (r一2)(r一1)=r2一3r+2=0， 从而可求得b与a．易看出ex或xex也满足方程，代入后可确定另一常数． 解 (1)由题设特解知原方程的特征根为1和2，故特征方程为 (r一1)(r一2)=0， 即r2一3r+2=0，于是a=一3，b=2． 为确定c，只需将y1=xex代入方程得 (x+2)ex一3(x+1)ex+2xex=cex， c=一1． (2)对应齐次方程的通解为 Y=c1ex+c2e2x． 因1为一重特征根，设原方程的特解为y*=Axex．将其代入原方程得到A=1，故原方程通解为 y=Y+y*=c1ex+c2e2x+xex，其中c1，c2为任意常数．
解析
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考研数学二

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