设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=cex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

admin2015-12-22 68

问题设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=ce^x的一个特解为y=e^2x+(1+x)e^x，试确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

选项

答案由所给特解易看出1与2为特征方程的根，故特征方程为 (r一2)(r一1)=r²一3r+2=0，从而可求得b与a．易看出e^x或xe^x也满足方程，代入后可确定另一常数．解 (1)由题设特解知原方程的特征根为1和2，故特征方程为 (r一1)(r一2)=0，即r²一3r+2=0，于是a=一3，b=2．为确定c，只需将y₁=xe^x代入方程得 (x+2)e^x一3(x+1)e^x+2xe^x=ce^x， c=一1． (2)对应齐次方程的通解为 Y=c₁e^x+c₂e^2x．因1为一重特征根，设原方程的特解为y^*=Axe^x．将其代入原方程得到A=1，故原方程通解为 y=Y+y^*=c₁e^x+c₂e^2x+xe^x，其中c₁，c₂为任意常数．

解析

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考研数学二

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设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=cex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

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