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  3. 设f(x)在[0，+∞]连续，且 =0。 证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。

设f(x)在[0，+∞]连续，且 =0。 证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。

admin2018-01-30  59
问题 设f(x)在[0，+∞]连续，且
=0。
证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。
选项
答案作函数F(x)=f(x)+x，有 ∫01F(x)dx=∫01[f(x)＋x]dx=∫01f(x)dx+[*]＜0。 所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使 ∫01F(x)dx=(1一0)F(a)＜0， 即F(a)＜0。 又因为 [*]＋1=1， 所以，由极限的保号性，存在b＞a，使[*]＞0，即F(b)＞0。 因此，由介值定理，至少存在一个ξ∈[a，b][*](0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0。
解析
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考研数学二

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