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设f(x)在[0,+∞]连续,且 =0。 证明至少存在ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0。
设f(x)在[0,+∞]连续,且 =0。 证明至少存在ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0。
admin
2018-01-30
22
问题
设f(x)在[0,+∞]连续,且
=0。
证明至少存在ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0。
选项
答案
作函数F(x)=f(x)+x,有 ∫
0
1
F(x)dx=∫
0
1
[f(x)+x]dx=∫
0
1
f(x)dx+[*]<0。 所以由积分中值定理,存在a∈[0,1],使 ∫
0
1
F(x)dx=(1一0)F(a)<0, 即F(a)<0。 又因为 [*]+1=1, 所以,由极限的保号性,存在b>a,使[*]>0,即F(b)>0。 因此,由介值定理,至少存在一个ξ∈[a,b][*](0,+∞),使F(ξ)=0,即f(ξ)+ξ=0。
解析
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考研数学二
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