设f(x)在[0，+∞]连续，且 =0。证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。

admin2018-01-30 79

问题设f(x)在[0，+∞]连续，且

=0。
证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。

选项

答案作函数F(x)=f(x)+x，有 ∫₀¹F(x)dx=∫₀¹[f(x)＋x]dx=∫₀¹f(x)dx+[*]＜0。所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使 ∫₀¹F(x)dx=(1一0)F(a)＜0，即F(a)＜0。又因为 [*]＋1=1，所以，由极限的保号性，存在b＞a，使[*]＞0，即F(b)＞0。因此，由介值定理，至少存在一个ξ∈[a，b][*](0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0。

解析

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