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求微分方程y"-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1,y’(0)=1的解.
求微分方程y"-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1,y’(0)=1的解.
admin
2013-01-23
69
问题
求微分方程y"-2y’-e
2x
=0满足条件y(0)=1,y’(0)=1的解.
选项
答案
齐次方程y"-2y’=0的特征方程为λ
2
-2λ=0.由此求得特征根λ
1
=0,λ
2
=2.对应齐次方程的通解为y=C
1
+C
2
e
2x
.设非齐次方程的特解为y"=Axe
2x
,则 (y
*
)’=(A+2Ax)e
2x
,(y
*
)"=4A(1+x)e
2x
代入原方程,可得A=1/2,从而y
*
=1/2xe
2x
. 于是,原方程的通解为y=y+y
*
=C
1
+(C
2
+1/2x)e
2x
. 将y(0)=1和y’(0)=1代入通解,求得C
1
=3/4,C
2
=1/4. 从而,所求解为 y=3/4++1/4(1+2x)e
2x
.
解析
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考研数学三
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