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试求下列微分方程在指定形式下的解: (1)y〞+3yˊ+2y=0,形如y=erx的解; (2)x2y〞+6xyˊ+4y=0,形如y=xλ的解.
试求下列微分方程在指定形式下的解: (1)y〞+3yˊ+2y=0,形如y=erx的解; (2)x2y〞+6xyˊ+4y=0,形如y=xλ的解.
admin
2011-11-19
120
问题
试求下列微分方程在指定形式下的解:
(1)y〞+3yˊ+2y=0,形如y=e
rx
的解;
(2)x
2
y〞+6xyˊ+4y=0,形如y=x
λ
的解.
选项
答案
(1)将y=e
rx
分别求一、二阶导数得yˊ=r×e
rx
,y〞=r
2
×e
rx
,代人方程y〞+3yˊ+2y=0中,左边=r
2
×e
rx
+3r×3e
rx
+2×e
rx
=(r
2
+3r+2)e
rx
=0,r
2
+3r+2=0,解得r
1
=-1,r
2
=-2,所以,方程形如y=e
rx
的解有:y
1
=e
-x
,y
2
=e
-2x
. (2)将y=x
λ
分别对x求一、二阶导数得yˊ=λx
λ-1
,y〞=λ(λ-1)x
λ-2
,代人方程x
2
y〞+6 xyˊ+4y=0中, 左边=x
2
(λ-1)λx
λ-2
+6x×λx
λ-1
+4x
λ
=(λ
2
-λ+6λ+4)x
λ
=(λ
2
+5λ+4)x
λ
=0, 解得λ
1
=-1,λ
2
=-4,所以方程形如y=x
λ
的解有:y
1
=x
-λ
,y
2
=x
-4
.
解析
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考研数学三
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