2. 考研
  3. 试求下列微分方程在指定形式下的解: (1)y〞＋3yˊ＋2y＝0，形如y＝erx的解； (2)x2y〞＋6xyˊ＋4y＝0，形如y＝xλ的解．

试求下列微分方程在指定形式下的解: (1)y〞＋3yˊ＋2y＝0，形如y＝erx的解； (2)x2y〞＋6xyˊ＋4y＝0，形如y＝xλ的解．

admin2011-11-19  141
问题 试求下列微分方程在指定形式下的解:
(1)y〞＋3yˊ＋2y＝0，形如y＝erx的解；
(2)x2y〞＋6xyˊ＋4y＝0，形如y＝xλ的解．
选项
答案(1)将y＝erx分别求一、二阶导数得yˊ＝r×erx，y〞＝r2×erx，代人方程y〞＋3yˊ＋2y＝0中，左边＝r2×erx＋3r×3erx＋2×erx＝(r2＋3r＋2)erx＝0，r2＋3r＋2＝0，解得r1＝－1，r2＝－2，所以，方程形如y＝erx的解有：y1＝e－x，y2＝e－2x． (2)将y＝xλ分别对x求一、二阶导数得yˊ＝λxλ－1，y〞＝λ(λ－1)xλ－2，代人方程x2y〞＋6 xyˊ＋4y＝0中， 左边＝x2(λ－1)λxλ－2＋6x×λxλ－1＋4xλ＝(λ2－λ＋6λ＋4)xλ=(λ2＋5λ＋4)xλ＝0， 解得λ1＝－1，λ2＝－4，所以方程形如y＝xλ的解有：y1＝x－λ，y2＝x－4．
解析
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考研数学三

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