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试讨论f(x,y)=在点(0,0)处是否可微?
试讨论f(x,y)=在点(0,0)处是否可微?
admin
2023-03-22
16
问题
试讨论f(x,y)=
在点(0,0)处是否可微?
选项
答案
根据偏导数的定义,有 [*] f(x,y)在点(0,0)处的全增量为 △z=f(0+△x,0+△y)-f(0,0)=△x△ysin[*] 根据全微分的定义,函数f(x,y)在点(0,0)处是否可微,只需证明当(△x,△y)→(0,0)时,△z-f’
x
(0,0)△x-f’
y
(0,0)△y是否为ρ=[*]的高阶无穷小量.而 △z-f’
x
(0,0)△x-f’
y
(0,0)△y=△x△ysin[*] 因此只需讨论极限[*]是否存在.显然 [*] 由夹逼定理可知[*]因此有 △z-f’
x
(0,0)△x-f’
y
(0,0)△y=o(ρ),(△x,△y)→(0,0). 所以f(x,y)在点(0,0)处可微.
解析
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考研数学一
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