试讨论f(x，y)=在点(0，0)处是否可微?

admin2023-03-22 13

问题试讨论f(x，y)=

在点(0，0)处是否可微?

选项

答案根据偏导数的定义，有 [*] f(x，y)在点(0，0)处的全增量为 △z=f(0+△x，0+△y)-f(0，0)=△x△ysin[*] 根据全微分的定义，函数f(x，y)在点(0，0)处是否可微，只需证明当(△x，△y)→(0，0)时，△z-f’_x(0，0)△x-f’_y(0，0)△y是否为ρ=[*]的高阶无穷小量．而 △z-f’_x(0，0)△x-f’_y(0，0)△y=△x△ysin[*] 因此只需讨论极限[*]是否存在．显然 [*] 由夹逼定理可知[*]因此有 △z-f’_x(0，0)△x-f’_y(0，0)△y=o(ρ)，(△x，△y)→(0，0)．所以f(x，y)在点(0，0)处可微．

解析

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