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设f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在[一1,1]内存在ξ,使得f"(ξ)=3.
设f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在[一1,1]内存在ξ,使得f"(ξ)=3.
admin
2018-08-12
43
问题
设f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在[一1,1]内存在ξ,使得f"(ξ)=3.
选项
答案
f(x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x—x
0
)+[*], 取x
0
=0,x=1代入, f(1)=f(0)+[*]f"(0)(1—0)
2
+[*]f’"(η
1
)(1—0)
3
,η
1
∈(0,1). ① 取x
0
=0,x=一1代入, f(一1)=f(0)+[*]f"(0)(-1一0)
2
+[*]f"’(η
2
)(一1—0)
3
,η
2
∈(一1,0). ② ①一②:f(1)一f(一1)=[*][f"’(η
1
)+f"’(η
2
)]=1—0. ③ 因为f"’(x)存[一1.1]上连续.刚存存m和M.使得[*] m≤f"’(η
1
)≤M,m≤f"’(η
2
)≤M[*] ③代入④式,有m≤3≤M,由介值定理,[*]∈[-1,1],使得f"’(ξ)=3.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8Qj4777K
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考研数学二
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