2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f"(ξ)=3．

设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f"(ξ)=3．

admin2018-08-12  58
问题 设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f"(ξ)=3．
选项
答案f(x)=f(x0)+f’(x0)(x—x0)+[*]， 取x0=0，x=1代入， f(1)=f(0)+[*]f"(0)(1—0)2+[*]f’"(η1)(1—0)3，η1∈(0，1)． ① 取x0=0，x=一1代入， f(一1)=f(0)+[*]f"(0)(-1一0)2+[*]f"’(η2)(一1—0)3，η2∈(一1，0)． ② ①一②:f(1)一f(一1)=[*][f"’(η1)+f"’(η2)]=1—0． ③ 因为f"’(x)存[一1．1]上连续．刚存存m和M．使得[*] m≤f"’(η1)≤M，m≤f"’(η2)≤M[*] ③代入④式，有m≤3≤M，由介值定理，[*]∈[-1，1]，使得f"’(ξ)=3．
解析
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考研数学二

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